Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74332 / 53052
↖ ↑ ↗
← N 32.407792°
E 24.158936°		 ← 257.86 m → N 32.407792°
E 24.161682°		 →
↑
257.90 m
↓
↑
257.90 m
↓
N 32.405472°
E 24.158936°		 ← 257.86 m →
66 502 m²		 N 32.405472°
E 24.161682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567111968994141 y=0.404758453369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567111968994141 × 217)
    floor (0.567111968994141 × 131072)
    floor (74332.5)     		tx = 74332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404758453369141 × 217)
    floor (0.404758453369141 × 131072)
    floor (53052.5)     		ty = 53052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74332 / 53052 ti = "17/74332/53052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74332/53052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74332 ÷ 217
    74332 ÷ 131072     		x = 0.567108154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53052 ÷ 217
    53052 ÷ 131072     		y = 0.404754638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567108154296875 × 2 - 1) × π
    0.13421630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42165297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404754638671875 × 2 - 1) × π
    0.19049072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.598444254856781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42165297} λ = 0.42165297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.598444254856781))-π/2
    2×atan(1.81928625184956)-π/2
    2×1.06820949624466-π/2
    2.13641899248932-1.57079632675     		φ = 0.56562267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42165297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.158936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56562267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.407792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74332 KachelY 53052 0.42165297 0.56562267 24.158936 32.407792
    Oben rechts KachelX + 1 74333 KachelY 53052 0.42170091 0.56562267 24.161682 32.407792
    Unten links KachelX 74332 KachelY + 1 53053 0.42165297 0.56558219 24.158936 32.405472
    Unten rechts KachelX + 1 74333 KachelY + 1 53053 0.42170091 0.56558219 24.161682 32.405472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56562267-0.56558219) × R
    4.04800000000094e-05 × 6371000     		dl = 257.89808000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56562267-0.56558219) × R
    4.04800000000094e-05 × 6371000     		dr = 257.89808000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42165297-0.42170091) × cos(0.56562267) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.844255049347675 × 6371000     		do = 257.857223195581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42165297-0.42170091) × cos(0.56558219) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.844276743572418 × 6371000     		du = 257.863849170227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56562267)-sin(0.56558219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844255049347675-0.844276743572418)×R²
    abs(0.42170091-0.42165297)×2.16942247435181e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.16942247435181e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.16942247435181e-05×40589641000000     		ar = 66501.7371985105m²