Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74331 / 61249
↖ ↑ ↗
← N 11.692583°
E 24.156189°		 ← 299.09 m → N 11.692583°
E 24.158936°		 →
↑
299.05 m
↓
↑
299.05 m
↓
N 11.689893°
E 24.156189°		 ← 299.09 m →
89 444 m²		 N 11.689893°
E 24.158936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567104339599609 y=0.467296600341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567104339599609 × 217)
    floor (0.567104339599609 × 131072)
    floor (74331.5)     		tx = 74331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467296600341797 × 217)
    floor (0.467296600341797 × 131072)
    floor (61249.5)     		ty = 61249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74331 / 61249 ti = "17/74331/61249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74331/61249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74331 ÷ 217
    74331 ÷ 131072     		x = 0.567100524902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61249 ÷ 217
    61249 ÷ 131072     		y = 0.467292785644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567100524902344 × 2 - 1) × π
    0.134201049804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.42160503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467292785644531 × 2 - 1) × π
    0.0654144287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.205505488671181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42160503} λ = 0.42160503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.205505488671181))-π/2
    2×atan(1.2281457218314)-π/2
    2×0.887435200481854-π/2
    1.77487040096371-1.57079632675     		φ = 0.20407407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42160503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.156189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20407407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.692583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74331 KachelY 61249 0.42160503 0.20407407 24.156189 11.692583
    Oben rechts KachelX + 1 74332 KachelY 61249 0.42165297 0.20407407 24.158936 11.692583
    Unten links KachelX 74331 KachelY + 1 61250 0.42160503 0.20402713 24.156189 11.689893
    Unten rechts KachelX + 1 74332 KachelY + 1 61250 0.42165297 0.20402713 24.158936 11.689893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20407407-0.20402713) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dl = 299.05473999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20407407-0.20402713) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dr = 299.05473999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42160503-0.42165297) × cos(0.20407407) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.979249053735784 × 6371000     		do = 299.087866881702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42160503-0.42165297) × cos(0.20402713) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.979258565542277 × 6371000     		du = 299.090772032239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20407407)-sin(0.20402713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979249053735784-0.979258565542277)×R²
    abs(0.42165297-0.42160503)×9.51180649289007e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.51180649289007e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.51180649289007e-06×40589641000000     		ar = 89444.0786834137m²