Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74331 / 61243
↖ ↑ ↗
← N 11.708720°
E 24.156189°		 ← 299.07 m → N 11.708720°
E 24.158936°		 →
↑
299.05 m
↓
↑
299.05 m
↓
N 11.706031°
E 24.156189°		 ← 299.07 m →
89 439 m²		 N 11.706031°
E 24.158936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567104339599609 y=0.467250823974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567104339599609 × 217)
    floor (0.567104339599609 × 131072)
    floor (74331.5)     		tx = 74331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467250823974609 × 217)
    floor (0.467250823974609 × 131072)
    floor (61243.5)     		ty = 61243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74331 / 61243 ti = "17/74331/61243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74331/61243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74331 ÷ 217
    74331 ÷ 131072     		x = 0.567100524902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61243 ÷ 217
    61243 ÷ 131072     		y = 0.467247009277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567100524902344 × 2 - 1) × π
    0.134201049804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.42160503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467247009277344 × 2 - 1) × π
    0.0655059814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.205793110068901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42160503} λ = 0.42160503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.205793110068901))-π/2
    2×atan(1.22849901362522)-π/2
    2×0.887576022866372-π/2
    1.77515204573274-1.57079632675     		φ = 0.20435572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42160503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.156189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20435572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.708720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74331 KachelY 61243 0.42160503 0.20435572 24.156189 11.708720
    Oben rechts KachelX + 1 74332 KachelY 61243 0.42165297 0.20435572 24.158936 11.708720
    Unten links KachelX 74331 KachelY + 1 61244 0.42160503 0.20430878 24.156189 11.706031
    Unten rechts KachelX + 1 74332 KachelY + 1 61244 0.42165297 0.20430878 24.158936 11.706031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20435572-0.20430878) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dl = 299.05473999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20435572-0.20430878) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dr = 299.05473999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42160503-0.42165297) × cos(0.20435572) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.979191935557721 × 6371000     		do = 299.070421519899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42160503-0.42165297) × cos(0.20430878) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.979201460310209 × 6371000     		du = 299.073330624477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20435572)-sin(0.20430878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979191935557721-0.979201460310209)×R²
    abs(0.42165297-0.42160503)×9.52475248838791e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.52475248838791e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.52475248838791e-06×40589641000000     		ar = 89438.8621564811m²