Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74331 / 53145
↖ ↑ ↗
← N 32.191884°
E 24.156189°		 ← 258.47 m → N 32.191884°
E 24.158936°		 →
↑
258.41 m
↓
↑
258.41 m
↓
N 32.189560°
E 24.156189°		 ← 258.48 m →
66 792 m²		 N 32.189560°
E 24.158936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567104339599609 y=0.405467987060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567104339599609 × 217)
    floor (0.567104339599609 × 131072)
    floor (74331.5)     		tx = 74331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405467987060547 × 217)
    floor (0.405467987060547 × 131072)
    floor (53145.5)     		ty = 53145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74331 / 53145 ti = "17/74331/53145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74331/53145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74331 ÷ 217
    74331 ÷ 131072     		x = 0.567100524902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53145 ÷ 217
    53145 ÷ 131072     		y = 0.405464172363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567100524902344 × 2 - 1) × π
    0.134201049804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.42160503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405464172363281 × 2 - 1) × π
    0.189071655273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.593986123192116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42160503} λ = 0.42160503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.593986123192116))-π/2
    2×atan(1.81119368646736)-π/2
    2×1.06632535060983-π/2
    2.13265070121965-1.57079632675     		φ = 0.56185437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42160503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.156189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56185437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.191884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74331 KachelY 53145 0.42160503 0.56185437 24.156189 32.191884
    Oben rechts KachelX + 1 74332 KachelY 53145 0.42165297 0.56185437 24.158936 32.191884
    Unten links KachelX 74331 KachelY + 1 53146 0.42160503 0.56181381 24.156189 32.189560
    Unten rechts KachelX + 1 74332 KachelY + 1 53146 0.42165297 0.56181381 24.158936 32.189560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56185437-0.56181381) × R
    4.05600000000783e-05 × 6371000     		dl = 258.407760000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56185437-0.56181381) × R
    4.05600000000783e-05 × 6371000     		dr = 258.407760000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42160503-0.42165297) × cos(0.56185437) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.846268639105489 × 6371000     		do = 258.472225337717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42160503-0.42165297) × cos(0.56181381) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.846290247009295 × 6371000     		du = 258.478824947727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56185437)-sin(0.56181381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846268639105489-0.846290247009295)×R²
    abs(0.42165297-0.42160503)×2.16079038062311e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.16079038062311e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.16079038062311e-05×40589641000000     		ar = 66792.0814762656m²