Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74330 / 78698
↖ ↑ ↗
← S 33.966142°
E 24.153443°		 ← 253.26 m → S 33.966142°
E 24.156189°		 →
↑
253.25 m
↓
↑
253.25 m
↓
S 33.968420°
E 24.153443°		 ← 253.25 m →
64 136 m²		 S 33.968420°
E 24.156189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567096710205078 y=0.600421905517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567096710205078 × 217)
    floor (0.567096710205078 × 131072)
    floor (74330.5)     		tx = 74330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600421905517578 × 217)
    floor (0.600421905517578 × 131072)
    floor (78698.5)     		ty = 78698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74330 / 78698 ti = "17/74330/78698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74330/78698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74330 ÷ 217
    74330 ÷ 131072     		x = 0.567092895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78698 ÷ 217
    78698 ÷ 131072     		y = 0.600418090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567092895507812 × 2 - 1) × π
    0.134185791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42155710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600418090820312 × 2 - 1) × π
    -0.200836181640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.630945472799179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42155710} λ = 0.42155710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.630945472799179))-π/2
    2×atan(0.53208848791789)-π/2
    2×0.488987655037186-π/2
    0.977975310074372-1.57079632675     		φ = -0.59282102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42155710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.153443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59282102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.966142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74330 KachelY 78698 0.42155710 -0.59282102 24.153443 -33.966142
    Oben rechts KachelX + 1 74331 KachelY 78698 0.42160503 -0.59282102 24.156189 -33.966142
    Unten links KachelX 74330 KachelY + 1 78699 0.42155710 -0.59286077 24.153443 -33.968420
    Unten rechts KachelX + 1 74331 KachelY + 1 78699 0.42160503 -0.59286077 24.156189 -33.968420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59282102--0.59286077) × R
    3.97500000000051e-05 × 6371000     		dl = 253.247250000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59282102--0.59286077) × R
    3.97500000000051e-05 × 6371000     		dr = 253.247250000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42155710-0.42160503) × cos(-0.59282102) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.829367869234347 × 6371000     		do = 253.257456166037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42155710-0.42160503) × cos(-0.59286077) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.829345660138602 × 6371000     		du = 253.250674351475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59282102)-sin(-0.59286077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829367869234347-0.829345660138602)×R²
    abs(0.42160503-0.42155710)×2.22090957451293e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.22090957451293e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.22090957451293e-05×40589641000000     		ar = 64135.8955865809m²