Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74330 / 53047
↖ ↑ ↗
← N 32.419385°
E 24.153443°		 ← 257.77 m → N 32.419385°
E 24.156189°		 →
↑
257.83 m
↓
↑
257.83 m
↓
N 32.417066°
E 24.153443°		 ← 257.78 m →
66 463 m²		 N 32.417066°
E 24.156189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567096710205078 y=0.404720306396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567096710205078 × 217)
    floor (0.567096710205078 × 131072)
    floor (74330.5)     		tx = 74330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404720306396484 × 217)
    floor (0.404720306396484 × 131072)
    floor (53047.5)     		ty = 53047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74330 / 53047 ti = "17/74330/53047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74330/53047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74330 ÷ 217
    74330 ÷ 131072     		x = 0.567092895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53047 ÷ 217
    53047 ÷ 131072     		y = 0.404716491699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567092895507812 × 2 - 1) × π
    0.134185791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42155710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404716491699219 × 2 - 1) × π
    0.190567016601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.598683939354881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42155710} λ = 0.42155710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.598683939354881))-π/2
    2×atan(1.81972235882369)-π/2
    2×1.06831066716994-π/2
    2.13662133433988-1.57079632675     		φ = 0.56582501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42155710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.153443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56582501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.419385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74330 KachelY 53047 0.42155710 0.56582501 24.153443 32.419385
    Oben rechts KachelX + 1 74331 KachelY 53047 0.42160503 0.56582501 24.156189 32.419385
    Unten links KachelX 74330 KachelY + 1 53048 0.42155710 0.56578454 24.153443 32.417066
    Unten rechts KachelX + 1 74331 KachelY + 1 53048 0.42160503 0.56578454 24.156189 32.417066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56582501-0.56578454) × R
    4.04699999999591e-05 × 6371000     		dl = 257.83436999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56582501-0.56578454) × R
    4.04699999999591e-05 × 6371000     		dr = 257.83436999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42155710-0.42160503) × cos(0.56582501) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.844146589640085 × 6371000     		do = 257.770316229933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42155710-0.42160503) × cos(0.56578454) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.84416828541875 × 6371000     		du = 257.776941296948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56582501)-sin(0.56578454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844146589640085-0.84416828541875)×R²
    abs(0.42160503-0.42155710)×2.16957786650651e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.16957786650651e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.16957786650651e-05×40589641000000     		ar = 66462.9011837354m²