Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7433 / 7433
↖ ↑ ↗
← S 81.154241°
E146.645508°		 ← 751.42 m → S 81.154241°
E146.689453°		 →
↑
751.14 m
↓
↑
751.14 m
↓
S 81.160996°
E146.645508°		 ← 750.85 m →
564 209 m²		 S 81.160996°
E146.689453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90740966796875 y=0.90740966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90740966796875 × 213)
    floor (0.90740966796875 × 8192)
    floor (7433.5)     		tx = 7433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90740966796875 × 213)
    floor (0.90740966796875 × 8192)
    floor (7433.5)     		ty = 7433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7433 / 7433 ti = "13/7433/7433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7433/7433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7433 ÷ 213
    7433 ÷ 8192     		x = 0.9073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7433 ÷ 213
    7433 ÷ 8192     		y = 0.9073486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9073486328125 × 2 - 1) × π
    0.814697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55944694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9073486328125 × 2 - 1) × π
    -0.814697265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.55944694451404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55944694} λ = 2.55944694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55944694451404))-π/2
    2×atan(0.0773475060788874)-π/2
    2×0.0771938100645158-π/2
    0.154387620129032-1.57079632675     		φ = -1.41640871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55944694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.645508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41640871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.154241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7433 KachelY 7433 2.55944694 -1.41640871 146.645508 -81.154241
    Oben rechts KachelX + 1 7434 KachelY 7433 2.56021393 -1.41640871 146.689453 -81.154241
    Unten links KachelX 7433 KachelY + 1 7434 2.55944694 -1.41652661 146.645508 -81.160996
    Unten rechts KachelX + 1 7434 KachelY + 1 7434 2.56021393 -1.41652661 146.689453 -81.160996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41640871--1.41652661) × R
    0.000117900000000004 × 6371000     		dl = 751.140900000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41640871--1.41652661) × R
    0.000117900000000004 × 6371000     		dr = 751.140900000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55944694-2.56021393) × cos(-1.41640871) × R
    0.000766990000000245 × 0.153775028713779 × 6371000     		do = 751.42064597968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55944694-2.56021393) × cos(-1.41652661) × R
    0.000766990000000245 × 0.153658529961406 × 6371000     		du = 750.851375607912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41640871)-sin(-1.41652661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153775028713779-0.153658529961406)×R²
    abs(2.56021393-2.55944694)×0.000116498752373739×R²
    0.000766990000000245×0.000116498752373739×6371000²
    0.000766990000000245×0.000116498752373739×40589641000000     		ar = 564208.979822343m²