Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7433 / 10675
↖ ↑ ↗
← S 47.798397°
W 16.677246°		 ← 1 641.21 m → S 47.798397°
W 16.655273°		 →
↑
1 640.98 m
↓
↑
1 640.98 m
↓
S 47.813154°
W 16.677246°		 ← 1 640.74 m →
2 692 805 m²		 S 47.813154°
W 16.655273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453704833984375 y=0.651580810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453704833984375 × 214)
    floor (0.453704833984375 × 16384)
    floor (7433.5)     		tx = 7433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651580810546875 × 214)
    floor (0.651580810546875 × 16384)
    floor (10675.5)     		ty = 10675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7433 / 10675 ti = "14/7433/10675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7433/10675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7433 ÷ 214
    7433 ÷ 16384     		x = 0.45367431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10675 ÷ 214
    10675 ÷ 16384     		y = 0.65155029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45367431640625 × 2 - 1) × π
    -0.0926513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29107285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65155029296875 × 2 - 1) × π
    -0.3031005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.952218574052795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29107285} λ = -0.29107285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952218574052795))-π/2
    2×atan(0.385883960934591)-π/2
    2×0.368278463847903-π/2
    0.736556927695807-1.57079632675     		φ = -0.83423940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29107285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.677246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83423940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.798397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7433 KachelY 10675 -0.29107285 -0.83423940 -16.677246 -47.798397
    Oben rechts KachelX + 1 7434 KachelY 10675 -0.29068936 -0.83423940 -16.655273 -47.798397
    Unten links KachelX 7433 KachelY + 1 10676 -0.29107285 -0.83449697 -16.677246 -47.813154
    Unten rechts KachelX + 1 7434 KachelY + 1 10676 -0.29068936 -0.83449697 -16.655273 -47.813154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83423940--0.83449697) × R
    0.00025757000000004 × 6371000     		dl = 1640.97847000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83423940--0.83449697) × R
    0.00025757000000004 × 6371000     		dr = 1640.97847000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29107285--0.29068936) × cos(-0.83423940) × R
    0.000383489999999986 × 0.671741318590015 × 6371000     		do = 1641.20832463317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29107285--0.29068936) × cos(-0.83449697) × R
    0.000383489999999986 × 0.671550492111287 × 6371000     		du = 1640.74209455802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83423940)-sin(-0.83449697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671741318590015-0.671550492111287)×R²
    abs(-0.29068936--0.29107285)×0.00019082647872859×R²
    0.000383489999999986×0.00019082647872859×6371000²
    0.000383489999999986×0.00019082647872859×40589641000000     		ar = 2692805.0036383m²