Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74329 / 77415
↖ ↑ ↗
← S 30.994092°
E 24.150696°		 ← 261.82 m → S 30.994092°
E 24.153443°		 →
↑
261.78 m
↓
↑
261.78 m
↓
S 30.996446°
E 24.150696°		 ← 261.81 m →
68 539 m²		 S 30.996446°
E 24.153443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567089080810547 y=0.590633392333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567089080810547 × 217)
    floor (0.567089080810547 × 131072)
    floor (74329.5)     		tx = 74329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590633392333984 × 217)
    floor (0.590633392333984 × 131072)
    floor (77415.5)     		ty = 77415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74329 / 77415 ti = "17/74329/77415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74329/77415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74329 ÷ 217
    74329 ÷ 131072     		x = 0.567085266113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77415 ÷ 217
    77415 ÷ 131072     		y = 0.590629577636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567085266113281 × 2 - 1) × π
    0.134170532226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.42150916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590629577636719 × 2 - 1) × π
    -0.181259155273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.569442430586647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42150916} λ = 0.42150916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.569442430586647))-π/2
    2×atan(0.565840846309276)-π/2
    2×0.514923690731971-π/2
    1.02984738146394-1.57079632675     		φ = -0.54094895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42150916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.150696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54094895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.994092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74329 KachelY 77415 0.42150916 -0.54094895 24.150696 -30.994092
    Oben rechts KachelX + 1 74330 KachelY 77415 0.42155710 -0.54094895 24.153443 -30.994092
    Unten links KachelX 74329 KachelY + 1 77416 0.42150916 -0.54099004 24.150696 -30.996446
    Unten rechts KachelX + 1 74330 KachelY + 1 77416 0.42155710 -0.54099004 24.153443 -30.996446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54094895--0.54099004) × R
    4.10899999999659e-05 × 6371000     		dl = 261.784389999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54094895--0.54099004) × R
    4.10899999999659e-05 × 6371000     		dr = 261.784389999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42150916-0.42155710) × cos(-0.54094895) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.857220405901848 × 6371000     		do = 261.817176815804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42150916-0.42155710) × cos(-0.54099004) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.857199245895731 × 6371000     		du = 261.810714005277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54094895)-sin(-0.54099004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857220405901848-0.857199245895731)×R²
    abs(0.42155710-0.42150916)×2.11600061161832e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11600061161832e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11600061161832e-05×40589641000000     		ar = 68538.8040024849m²