Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74329 / 53049
↖ ↑ ↗
← N 32.414747°
E 24.150696°		 ← 257.84 m → N 32.414747°
E 24.153443°		 →
↑
257.77 m
↓
↑
257.77 m
↓
N 32.412429°
E 24.150696°		 ← 257.84 m →
66 464 m²		 N 32.412429°
E 24.153443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567089080810547 y=0.404735565185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567089080810547 × 217)
    floor (0.567089080810547 × 131072)
    floor (74329.5)     		tx = 74329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404735565185547 × 217)
    floor (0.404735565185547 × 131072)
    floor (53049.5)     		ty = 53049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74329 / 53049 ti = "17/74329/53049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74329/53049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74329 ÷ 217
    74329 ÷ 131072     		x = 0.567085266113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53049 ÷ 217
    53049 ÷ 131072     		y = 0.404731750488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567085266113281 × 2 - 1) × π
    0.134170532226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.42150916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404731750488281 × 2 - 1) × π
    0.190536499023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.598588065555641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42150916} λ = 0.42150916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.598588065555641))-π/2
    2×atan(1.81954790349057)-π/2
    2×1.06827020035962-π/2
    2.13654040071924-1.57079632675     		φ = 0.56574407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42150916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.150696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56574407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.414747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74329 KachelY 53049 0.42150916 0.56574407 24.150696 32.414747
    Oben rechts KachelX + 1 74330 KachelY 53049 0.42155710 0.56574407 24.153443 32.414747
    Unten links KachelX 74329 KachelY + 1 53050 0.42150916 0.56570361 24.150696 32.412429
    Unten rechts KachelX + 1 74330 KachelY + 1 53050 0.42155710 0.56570361 24.153443 32.412429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56574407-0.56570361) × R
    4.04600000000199e-05 × 6371000     		dl = 257.770660000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56574407-0.56570361) × R
    4.04600000000199e-05 × 6371000     		dr = 257.770660000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42150916-0.42155710) × cos(0.56574407) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.844189979814819 × 6371000     		do = 257.837349285656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42150916-0.42155710) × cos(0.56570361) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.844211667468156 × 6371000     		du = 257.843973253225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56574407)-sin(0.56570361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844189979814819-0.844211667468156)×R²
    abs(0.42155710-0.42150916)×2.16876533372101e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.16876533372101e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.16876533372101e-05×40589641000000     		ar = 66463.7574393748m²