Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74327 / 77271
↖ ↑ ↗
← S 30.654453°
E 24.145202°		 ← 262.74 m → S 30.654453°
E 24.147949°		 →
↑
262.74 m
↓
↑
262.74 m
↓
S 30.656816°
E 24.145202°		 ← 262.74 m →
69 033 m²		 S 30.656816°
E 24.147949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567073822021484 y=0.589534759521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567073822021484 × 217)
    floor (0.567073822021484 × 131072)
    floor (74327.5)     		tx = 74327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589534759521484 × 217)
    floor (0.589534759521484 × 131072)
    floor (77271.5)     		ty = 77271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74327 / 77271 ti = "17/74327/77271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74327/77271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74327 ÷ 217
    74327 ÷ 131072     		x = 0.567070007324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77271 ÷ 217
    77271 ÷ 131072     		y = 0.589530944824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567070007324219 × 2 - 1) × π
    0.134140014648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.42141328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589530944824219 × 2 - 1) × π
    -0.179061889648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.562539517041359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42141328} λ = 0.42141328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.562539517041359))-π/2
    2×atan(0.569760309044352)-π/2
    2×0.51788759731283-π/2
    1.03577519462566-1.57079632675     		φ = -0.53502113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42141328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.145202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53502113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.654453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74327 KachelY 77271 0.42141328 -0.53502113 24.145202 -30.654453
    Oben rechts KachelX + 1 74328 KachelY 77271 0.42146122 -0.53502113 24.147949 -30.654453
    Unten links KachelX 74327 KachelY + 1 77272 0.42141328 -0.53506237 24.145202 -30.656816
    Unten rechts KachelX + 1 74328 KachelY + 1 77272 0.42146122 -0.53506237 24.147949 -30.656816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53502113--0.53506237) × R
    4.12400000000535e-05 × 6371000     		dl = 262.740040000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53502113--0.53506237) × R
    4.12400000000535e-05 × 6371000     		dr = 262.740040000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42141328-0.42146122) × cos(-0.53502113) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.860257856141548 × 6371000     		do = 262.744892302978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42141328-0.42146122) × cos(-0.53506237) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.860236828815917 × 6371000     		du = 262.738470016487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53502113)-sin(-0.53506237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860257856141548-0.860236828815917)×R²
    abs(0.42146122-0.42141328)×2.10273256310289e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10273256310289e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10273256310289e-05×40589641000000     		ar = 69032.7598275004m²