Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74327 / 56821
↖ ↑ ↗
← N 23.269104°
E 24.145202°		 ← 280.58 m → N 23.269104°
E 24.147949°		 →
↑
280.58 m
↓
↑
280.58 m
↓
N 23.266581°
E 24.145202°		 ← 280.59 m →
78 726 m²		 N 23.266581°
E 24.147949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567073822021484 y=0.433513641357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567073822021484 × 217)
    floor (0.567073822021484 × 131072)
    floor (74327.5)     		tx = 74327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433513641357422 × 217)
    floor (0.433513641357422 × 131072)
    floor (56821.5)     		ty = 56821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74327 / 56821 ti = "17/74327/56821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74327/56821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74327 ÷ 217
    74327 ÷ 131072     		x = 0.567070007324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56821 ÷ 217
    56821 ÷ 131072     		y = 0.433509826660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567070007324219 × 2 - 1) × π
    0.134140014648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.42141328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433509826660156 × 2 - 1) × π
    0.132980346679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.417770080188789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42141328} λ = 0.42141328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.417770080188789))-π/2
    2×atan(1.5185714845919)-π/2
    2×0.988459401948885-π/2
    1.97691880389777-1.57079632675     		φ = 0.40612248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42141328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.145202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40612248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.269104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74327 KachelY 56821 0.42141328 0.40612248 24.145202 23.269104
    Oben rechts KachelX + 1 74328 KachelY 56821 0.42146122 0.40612248 24.147949 23.269104
    Unten links KachelX 74327 KachelY + 1 56822 0.42141328 0.40607844 24.145202 23.266581
    Unten rechts KachelX + 1 74328 KachelY + 1 56822 0.42146122 0.40607844 24.147949 23.266581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40612248-0.40607844) × R
    4.40400000000229e-05 × 6371000     		dl = 280.578840000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40612248-0.40607844) × R
    4.40400000000229e-05 × 6371000     		dr = 280.578840000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42141328-0.42146122) × cos(0.40612248) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.918659540063821 × 6371000     		do = 280.582269832193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42141328-0.42146122) × cos(0.40607844) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.918676937183127 × 6371000     		du = 280.587583360231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40612248)-sin(0.40607844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918659540063821-0.918676937183127)×R²
    abs(0.42146122-0.42141328)×1.73971193053735e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.73971193053735e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.73971193053735e-05×40589641000000     		ar = 78726.1932386075m²