Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74327 / 53289
↖ ↑ ↗
← N 31.856564°
E 24.145202°		 ← 259.42 m → N 31.856564°
E 24.147949°		 →
↑
259.36 m
↓
↑
259.36 m
↓
N 31.854231°
E 24.145202°		 ← 259.43 m →
67 285 m²		 N 31.854231°
E 24.147949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567073822021484 y=0.406566619873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567073822021484 × 217)
    floor (0.567073822021484 × 131072)
    floor (74327.5)     		tx = 74327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406566619873047 × 217)
    floor (0.406566619873047 × 131072)
    floor (53289.5)     		ty = 53289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74327 / 53289 ti = "17/74327/53289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74327/53289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74327 ÷ 217
    74327 ÷ 131072     		x = 0.567070007324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53289 ÷ 217
    53289 ÷ 131072     		y = 0.406562805175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567070007324219 × 2 - 1) × π
    0.134140014648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.42141328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406562805175781 × 2 - 1) × π
    0.186874389648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.587083209646828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42141328} λ = 0.42141328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.587083209646828))-π/2
    2×atan(1.79873422580043)-π/2
    2×1.06339913025629-π/2
    2.12679826051258-1.57079632675     		φ = 0.55600193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42141328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.145202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55600193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.856564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74327 KachelY 53289 0.42141328 0.55600193 24.145202 31.856564
    Oben rechts KachelX + 1 74328 KachelY 53289 0.42146122 0.55600193 24.147949 31.856564
    Unten links KachelX 74327 KachelY + 1 53290 0.42141328 0.55596122 24.145202 31.854231
    Unten rechts KachelX + 1 74328 KachelY + 1 53290 0.42146122 0.55596122 24.147949 31.854231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55600193-0.55596122) × R
    4.07099999999438e-05 × 6371000     		dl = 259.363409999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55600193-0.55596122) × R
    4.07099999999438e-05 × 6371000     		dr = 259.363409999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42141328-0.42146122) × cos(0.55600193) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.849372053465317 × 6371000     		do = 259.420087965094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42141328-0.42146122) × cos(0.55596122) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.849393539278679 × 6371000     		du = 259.42665028554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55600193)-sin(0.55596122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849372053465317-0.849393539278679)×R²
    abs(0.42146122-0.42141328)×2.14858133621432e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14858133621432e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14858133621432e-05×40589641000000     		ar = 67284.9296592984m²