Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74325 / 56846
↖ ↑ ↗
← N 23.206009°
E 24.139709°		 ← 280.71 m → N 23.206009°
E 24.142456°		 →
↑
280.64 m
↓
↑
280.64 m
↓
N 23.203486°
E 24.139709°		 ← 280.72 m →
78 781 m²		 N 23.203486°
E 24.142456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567058563232422 y=0.433704376220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567058563232422 × 217)
    floor (0.567058563232422 × 131072)
    floor (74325.5)     		tx = 74325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433704376220703 × 217)
    floor (0.433704376220703 × 131072)
    floor (56846.5)     		ty = 56846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74325 / 56846 ti = "17/74325/56846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74325/56846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74325 ÷ 217
    74325 ÷ 131072     		x = 0.567054748535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56846 ÷ 217
    56846 ÷ 131072     		y = 0.433700561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567054748535156 × 2 - 1) × π
    0.134109497070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.42131741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433700561523438 × 2 - 1) × π
    0.132598876953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.416571657698288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42131741} λ = 0.42131741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.416571657698288))-π/2
    2×atan(1.51675268443452)-π/2
    2×0.987908800605231-π/2
    1.97581760121046-1.57079632675     		φ = 0.40502127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42131741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.139709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40502127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.206009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74325 KachelY 56846 0.42131741 0.40502127 24.139709 23.206009
    Oben rechts KachelX + 1 74326 KachelY 56846 0.42136535 0.40502127 24.142456 23.206009
    Unten links KachelX 74325 KachelY + 1 56847 0.42131741 0.40497722 24.139709 23.203486
    Unten rechts KachelX + 1 74326 KachelY + 1 56847 0.42136535 0.40497722 24.142456 23.203486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40502127-0.40497722) × R
    4.40499999999622e-05 × 6371000     		dl = 280.642549999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40502127-0.40497722) × R
    4.40499999999622e-05 × 6371000     		dr = 280.642549999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42131741-0.42136535) × cos(0.40502127) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.919094016178835 × 6371000     		do = 280.714970021134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42131741-0.42136535) × cos(0.40497722) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.919111372674661 × 6371000     		du = 280.720271141715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40502127)-sin(0.40497722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919094016178835-0.919111372674661)×R²
    abs(0.42136535-0.42131741)×1.73564958256822e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.73564958256822e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.73564958256822e-05×40589641000000     		ar = 78781.3088826193m²