Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74324 / 76912
↖ ↑ ↗
← S 29.802518°
E 24.136963°		 ← 265.03 m → S 29.802518°
E 24.139709°		 →
↑
265.03 m
↓
↑
265.03 m
↓
S 29.804901°
E 24.136963°		 ← 265.02 m →
70 241 m²		 S 29.804901°
E 24.139709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567050933837891 y=0.586795806884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567050933837891 × 217)
    floor (0.567050933837891 × 131072)
    floor (74324.5)     		tx = 74324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586795806884766 × 217)
    floor (0.586795806884766 × 131072)
    floor (76912.5)     		ty = 76912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74324 / 76912 ti = "17/74324/76912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74324/76912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74324 ÷ 217
    74324 ÷ 131072     		x = 0.567047119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76912 ÷ 217
    76912 ÷ 131072     		y = 0.5867919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567047119140625 × 2 - 1) × π
    0.13409423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42126947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5867919921875 × 2 - 1) × π
    -0.173583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.545330170077759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42126947} λ = 0.42126947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.545330170077759))-π/2
    2×atan(0.579650368534613)-π/2
    2×0.525322131984133-π/2
    1.05064426396827-1.57079632675     		φ = -0.52015206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42126947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.136963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52015206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.802518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74324 KachelY 76912 0.42126947 -0.52015206 24.136963 -29.802518
    Oben rechts KachelX + 1 74325 KachelY 76912 0.42131741 -0.52015206 24.139709 -29.802518
    Unten links KachelX 74324 KachelY + 1 76913 0.42126947 -0.52019366 24.136963 -29.804901
    Unten rechts KachelX + 1 74325 KachelY + 1 76913 0.42131741 -0.52019366 24.139709 -29.804901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52015206--0.52019366) × R
    4.1599999999975e-05 × 6371000     		dl = 265.033599999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52015206--0.52019366) × R
    4.1599999999975e-05 × 6371000     		dr = 265.033599999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42126947-0.42131741) × cos(-0.52015206) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.867743614051217 × 6371000     		do = 265.031235452001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42126947-0.42131741) × cos(-0.52019366) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.867722937597326 × 6371000     		du = 265.02492033077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52015206)-sin(-0.52019366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867743614051217-0.867722937597326)×R²
    abs(0.42131741-0.42126947)×2.06764538909221e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.06764538909221e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.06764538909221e-05×40589641000000     		ar = 70241.3455947354m²