Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74324 / 53460
↖ ↑ ↗
← N 31.456783°
E 24.136963°		 ← 260.54 m → N 31.456783°
E 24.139709°		 →
↑
260.57 m
↓
↑
260.57 m
↓
N 31.454439°
E 24.136963°		 ← 260.55 m →
67 890 m²		 N 31.454439°
E 24.139709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567050933837891 y=0.407871246337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567050933837891 × 217)
    floor (0.567050933837891 × 131072)
    floor (74324.5)     		tx = 74324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407871246337891 × 217)
    floor (0.407871246337891 × 131072)
    floor (53460.5)     		ty = 53460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74324 / 53460 ti = "17/74324/53460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74324/53460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74324 ÷ 217
    74324 ÷ 131072     		x = 0.567047119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53460 ÷ 217
    53460 ÷ 131072     		y = 0.407867431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567047119140625 × 2 - 1) × π
    0.13409423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42126947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407867431640625 × 2 - 1) × π
    0.18426513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.578885999811798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42126947} λ = 0.42126947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.578885999811798))-π/2
    2×atan(1.78404989142432)-π/2
    2×1.05991037650141-π/2
    2.11982075300282-1.57079632675     		φ = 0.54902443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42126947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.136963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54902443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.456783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74324 KachelY 53460 0.42126947 0.54902443 24.136963 31.456783
    Oben rechts KachelX + 1 74325 KachelY 53460 0.42131741 0.54902443 24.139709 31.456783
    Unten links KachelX 74324 KachelY + 1 53461 0.42126947 0.54898353 24.136963 31.454439
    Unten rechts KachelX + 1 74325 KachelY + 1 53461 0.42131741 0.54898353 24.139709 31.454439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54902443-0.54898353) × R
    4.09000000000104e-05 × 6371000     		dl = 260.573900000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54902443-0.54898353) × R
    4.09000000000104e-05 × 6371000     		dr = 260.573900000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42126947-0.42131741) × cos(0.54902443) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.85303403426909 × 6371000     		do = 260.538551161953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42126947-0.42131741) × cos(0.54898353) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.853055377436676 × 6371000     		du = 260.545069914707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54902443)-sin(0.54898353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85303403426909-0.853055377436676)×R²
    abs(0.42131741-0.42126947)×2.13431675861742e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13431675861742e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13431675861742e-05×40589641000000     		ar = 67890.3956946062m²