Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74323 / 77010
↖ ↑ ↗
← S 30.035811°
E 24.134216°		 ← 264.36 m → S 30.035811°
E 24.136963°		 →
↑
264.40 m
↓
↑
264.40 m
↓
S 30.038189°
E 24.134216°		 ← 264.35 m →
69 894 m²		 S 30.038189°
E 24.136963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567043304443359 y=0.587543487548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567043304443359 × 217)
    floor (0.567043304443359 × 131072)
    floor (74323.5)     		tx = 74323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587543487548828 × 217)
    floor (0.587543487548828 × 131072)
    floor (77010.5)     		ty = 77010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74323 / 77010 ti = "17/74323/77010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74323/77010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74323 ÷ 217
    74323 ÷ 131072     		x = 0.567039489746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77010 ÷ 217
    77010 ÷ 131072     		y = 0.587539672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567039489746094 × 2 - 1) × π
    0.134078979492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.42122154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587539672851562 × 2 - 1) × π
    -0.175079345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.550027986240524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42122154} λ = 0.42122154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.550027986240524))-π/2
    2×atan(0.576933663950263)-π/2
    2×0.523286265303541-π/2
    1.04657253060708-1.57079632675     		φ = -0.52422380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42122154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.134216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52422380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.035811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74323 KachelY 77010 0.42122154 -0.52422380 24.134216 -30.035811
    Oben rechts KachelX + 1 74324 KachelY 77010 0.42126947 -0.52422380 24.136963 -30.035811
    Unten links KachelX 74323 KachelY + 1 77011 0.42122154 -0.52426530 24.134216 -30.038189
    Unten rechts KachelX + 1 74324 KachelY + 1 77011 0.42126947 -0.52426530 24.136963 -30.038189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52422380--0.52426530) × R
    4.15000000000276e-05 × 6371000     		dl = 264.396500000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52422380--0.52426530) × R
    4.15000000000276e-05 × 6371000     		dr = 264.396500000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42122154-0.42126947) × cos(-0.52422380) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.865712722445146 × 6371000     		do = 264.355794322532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42122154-0.42126947) × cos(-0.52426530) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.865691949240309 × 6371000     		du = 264.349450974533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52422380)-sin(-0.52426530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865712722445146-0.865691949240309)×R²
    abs(0.42126947-0.42122154)×2.07732048372877e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.07732048372877e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.07732048372877e-05×40589641000000     		ar = 69893.9082041252m²