Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74323 / 56815
↖ ↑ ↗
← N 23.284242°
E 24.134216°		 ← 280.49 m → N 23.284242°
E 24.136963°		 →
↑
280.52 m
↓
↑
280.52 m
↓
N 23.281719°
E 24.134216°		 ← 280.50 m →
78 683 m²		 N 23.281719°
E 24.136963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567043304443359 y=0.433467864990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567043304443359 × 217)
    floor (0.567043304443359 × 131072)
    floor (74323.5)     		tx = 74323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433467864990234 × 217)
    floor (0.433467864990234 × 131072)
    floor (56815.5)     		ty = 56815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74323 / 56815 ti = "17/74323/56815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74323/56815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74323 ÷ 217
    74323 ÷ 131072     		x = 0.567039489746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56815 ÷ 217
    56815 ÷ 131072     		y = 0.433464050292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567039489746094 × 2 - 1) × π
    0.134078979492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.42122154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433464050292969 × 2 - 1) × π
    0.133071899414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.41805770158651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42122154} λ = 0.42122154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.41805770158651))-π/2
    2×atan(1.51900832106359)-π/2
    2×0.988591507512601-π/2
    1.9771830150252-1.57079632675     		φ = 0.40638669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42122154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.134216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40638669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.284242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74323 KachelY 56815 0.42122154 0.40638669 24.134216 23.284242
    Oben rechts KachelX + 1 74324 KachelY 56815 0.42126947 0.40638669 24.136963 23.284242
    Unten links KachelX 74323 KachelY + 1 56816 0.42122154 0.40634266 24.134216 23.281719
    Unten rechts KachelX + 1 74324 KachelY + 1 56816 0.42126947 0.40634266 24.136963 23.281719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40638669-0.40634266) × R
    4.40299999999727e-05 × 6371000     		dl = 280.515129999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40638669-0.40634266) × R
    4.40299999999727e-05 × 6371000     		dr = 280.515129999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42122154-0.42126947) × cos(0.40638669) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.918555131790997 × 6371000     		do = 280.491859710463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42122154-0.42126947) × cos(0.40634266) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.918572535646619 × 6371000     		du = 280.497174187146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40638669)-sin(0.40634266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918555131790997-0.918572535646619)×R²
    abs(0.42126947-0.42122154)×1.74038556211009e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.74038556211009e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.74038556211009e-05×40589641000000     		ar = 78682.955898809m²