Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74323 / 56274
↖ ↑ ↗
← N 24.642024°
E 24.134216°		 ← 277.55 m → N 24.642024°
E 24.136963°		 →
↑
277.58 m
↓
↑
277.58 m
↓
N 24.639528°
E 24.134216°		 ← 277.56 m →
77 045 m²		 N 24.639528°
E 24.136963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567043304443359 y=0.429340362548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567043304443359 × 217)
    floor (0.567043304443359 × 131072)
    floor (74323.5)     		tx = 74323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429340362548828 × 217)
    floor (0.429340362548828 × 131072)
    floor (56274.5)     		ty = 56274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74323 / 56274 ti = "17/74323/56274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74323/56274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74323 ÷ 217
    74323 ÷ 131072     		x = 0.567039489746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56274 ÷ 217
    56274 ÷ 131072     		y = 0.429336547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567039489746094 × 2 - 1) × π
    0.134078979492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.42122154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429336547851562 × 2 - 1) × π
    0.141326904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.44399156428096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42122154} λ = 0.42122154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.44399156428096))-π/2
    2×atan(1.5589173349778)-π/2
    2×1.00044039309237-π/2
    2.00088078618473-1.57079632675     		φ = 0.43008446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42122154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.134216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43008446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.642024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74323 KachelY 56274 0.42122154 0.43008446 24.134216 24.642024
    Oben rechts KachelX + 1 74324 KachelY 56274 0.42126947 0.43008446 24.136963 24.642024
    Unten links KachelX 74323 KachelY + 1 56275 0.42122154 0.43004089 24.134216 24.639528
    Unten rechts KachelX + 1 74324 KachelY + 1 56275 0.42126947 0.43004089 24.136963 24.639528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43008446-0.43004089) × R
    4.35699999999928e-05 × 6371000     		dl = 277.584469999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43008446-0.43004089) × R
    4.35699999999928e-05 × 6371000     		dr = 277.584469999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42122154-0.42126947) × cos(0.43008446) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.908930537524904 × 6371000     		do = 277.552874067444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42122154-0.42126947) × cos(0.43004089) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.908948703067887 × 6371000     		du = 277.558421134526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43008446)-sin(0.43004089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908930537524904-0.908948703067887)×R²
    abs(0.42126947-0.42122154)×1.81655429827288e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.81655429827288e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.81655429827288e-05×40589641000000     		ar = 77045.1373470616m²