Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74321 / 56271
↖ ↑ ↗
← N 24.649514°
E 24.128723°		 ← 277.59 m → N 24.649514°
E 24.131470°		 →
↑
277.58 m
↓
↑
277.58 m
↓
N 24.647017°
E 24.128723°		 ← 277.60 m →
77 057 m²		 N 24.647017°
E 24.131470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567028045654297 y=0.429317474365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567028045654297 × 217)
    floor (0.567028045654297 × 131072)
    floor (74321.5)     		tx = 74321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429317474365234 × 217)
    floor (0.429317474365234 × 131072)
    floor (56271.5)     		ty = 56271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74321 / 56271 ti = "17/74321/56271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74321/56271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74321 ÷ 217
    74321 ÷ 131072     		x = 0.567024230957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56271 ÷ 217
    56271 ÷ 131072     		y = 0.429313659667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567024230957031 × 2 - 1) × π
    0.134048461914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.42112566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429313659667969 × 2 - 1) × π
    0.141372680664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.44413537497982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42112566} λ = 0.42112566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.44413537497982))-π/2
    2×atan(1.55914154009037)-π/2
    2×1.00050574810069-π/2
    2.00101149620139-1.57079632675     		φ = 0.43021517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42112566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.128723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43021517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.649514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74321 KachelY 56271 0.42112566 0.43021517 24.128723 24.649514
    Oben rechts KachelX + 1 74322 KachelY 56271 0.42117360 0.43021517 24.131470 24.649514
    Unten links KachelX 74321 KachelY + 1 56272 0.42112566 0.43017160 24.128723 24.647017
    Unten rechts KachelX + 1 74322 KachelY + 1 56272 0.42117360 0.43017160 24.131470 24.647017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43021517-0.43017160) × R
    4.35699999999928e-05 × 6371000     		dl = 277.584469999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43021517-0.43017160) × R
    4.35699999999928e-05 × 6371000     		dr = 277.584469999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42112566-0.42117360) × cos(0.43021517) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.908876030543312 × 6371000     		do = 277.594134196772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42112566-0.42117360) × cos(0.43017160) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.908894201262582 × 6371000     		du = 277.599684002151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43021517)-sin(0.43017160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908876030543312-0.908894201262582)×R²
    abs(0.42117360-0.42112566)×1.81707192702385e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81707192702385e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81707192702385e-05×40589641000000     		ar = 77056.5908982025m²