Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74320 / 61232
↖ ↑ ↗
← N 11.738303°
E 24.125977°		 ← 298.98 m → N 11.738303°
E 24.128723°		 →
↑
299.05 m
↓
↑
299.05 m
↓
N 11.735613°
E 24.125977°		 ← 298.98 m →
89 411 m²		 N 11.735613°
E 24.128723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567020416259766 y=0.467166900634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567020416259766 × 217)
    floor (0.567020416259766 × 131072)
    floor (74320.5)     		tx = 74320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467166900634766 × 217)
    floor (0.467166900634766 × 131072)
    floor (61232.5)     		ty = 61232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74320 / 61232 ti = "17/74320/61232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74320/61232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74320 ÷ 217
    74320 ÷ 131072     		x = 0.5670166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61232 ÷ 217
    61232 ÷ 131072     		y = 0.4671630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5670166015625 × 2 - 1) × π
    0.134033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42107773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4671630859375 × 2 - 1) × π
    0.065673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.206320415964722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42107773} λ = 0.42107773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.206320415964722))-π/2
    2×atan(1.22914697922114)-π/2
    2×0.887834175882677-π/2
    1.77566835176535-1.57079632675     		φ = 0.20487203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42107773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.125977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20487203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.738303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74320 KachelY 61232 0.42107773 0.20487203 24.125977 11.738303
    Oben rechts KachelX + 1 74321 KachelY 61232 0.42112566 0.20487203 24.128723 11.738303
    Unten links KachelX 74320 KachelY + 1 61233 0.42107773 0.20482509 24.125977 11.735613
    Unten rechts KachelX + 1 74321 KachelY + 1 61233 0.42112566 0.20482509 24.128723 11.735613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20487203-0.20482509) × R
    4.69400000000231e-05 × 6371000     		dl = 299.054740000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20487203-0.20482509) × R
    4.69400000000231e-05 × 6371000     		dr = 299.054740000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42107773-0.42112566) × cos(0.20487203) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.979087026992179 × 6371000     		do = 298.976002109179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42107773-0.42112566) × cos(0.20482509) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.979096575474807 × 6371000     		du = 298.978917853218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20487203)-sin(0.20482509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979087026992179-0.979096575474807)×R²
    abs(0.42112566-0.42107773)×9.54848262890717e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.54848262890717e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.54848262890717e-06×40589641000000     		ar = 89410.6265770194m²