Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7432 / 7470
↖ ↑ ↗
← S 81.400802°
E146.601562°		 ← 730.64 m → S 81.400802°
E146.645508°		 →
↑
730.37 m
↓
↑
730.37 m
↓
S 81.407370°
E146.601562°		 ← 730.08 m →
533 433 m²		 S 81.407370°
E146.645508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90728759765625 y=0.91192626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90728759765625 × 213)
    floor (0.90728759765625 × 8192)
    floor (7432.5)     		tx = 7432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91192626953125 × 213)
    floor (0.91192626953125 × 8192)
    floor (7470.5)     		ty = 7470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7432 / 7470 ti = "13/7432/7470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7432/7470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7432 ÷ 213
    7432 ÷ 8192     		x = 0.9072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7470 ÷ 213
    7470 ÷ 8192     		y = 0.911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9072265625 × 2 - 1) × π
    0.814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55867995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911865234375 × 2 - 1) × π
    -0.82373046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58782558908911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55867995} λ = 2.55867995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58782558908911))-π/2
    2×atan(0.0751833419573682)-π/2
    2×0.0750421616432987-π/2
    0.150084323286597-1.57079632675     		φ = -1.42071200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55867995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42071200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.400802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7432 KachelY 7470 2.55867995 -1.42071200 146.601562 -81.400802
    Oben rechts KachelX + 1 7433 KachelY 7470 2.55944694 -1.42071200 146.645508 -81.400802
    Unten links KachelX 7432 KachelY + 1 7471 2.55867995 -1.42082664 146.601562 -81.407370
    Unten rechts KachelX + 1 7433 KachelY + 1 7471 2.55944694 -1.42082664 146.645508 -81.407370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42071200--1.42082664) × R
    0.000114640000000055 × 6371000     		dl = 730.371440000348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42071200--1.42082664) × R
    0.000114640000000055 × 6371000     		dr = 730.371440000348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55867995-2.55944694) × cos(-1.42071200) × R
    0.000766989999999801 × 0.149521511838061 × 6371000     		do = 730.635864307153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55867995-2.55944694) × cos(-1.42082664) × R
    0.000766989999999801 × 0.149408159584459 × 6371000     		du = 730.08196928052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42071200)-sin(-1.42082664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149521511838061-0.149408159584459)×R²
    abs(2.55944694-2.55867995)×0.000113352253601956×R²
    0.000766989999999801×0.000113352253601956×6371000²
    0.000766989999999801×0.000113352253601956×40589641000000     		ar = 533433.294360319m²