Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7432 / 4470
↖ ↑ ↗
← N 63.015106°
W 16.699219°		 ← 1 108.65 m → N 63.015106°
W 16.677246°		 →
↑
1 108.81 m
↓
↑
1 108.81 m
↓
N 63.005134°
W 16.699219°		 ← 1 109.03 m →
1 229 492 m²		 N 63.005134°
W 16.677246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453643798828125 y=0.272857666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453643798828125 × 214)
    floor (0.453643798828125 × 16384)
    floor (7432.5)     		tx = 7432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272857666015625 × 214)
    floor (0.272857666015625 × 16384)
    floor (4470.5)     		ty = 4470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7432 / 4470 ti = "14/7432/4470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7432/4470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7432 ÷ 214
    7432 ÷ 16384     		x = 0.45361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4470 ÷ 214
    4470 ÷ 16384     		y = 0.2728271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45361328125 × 2 - 1) × π
    -0.0927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29145635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2728271484375 × 2 - 1) × π
    0.454345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42736912308679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29145635} λ = -0.29145635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42736912308679))-π/2
    2×atan(4.16771999747929)-π/2
    2×1.33530869985215-π/2
    2.67061739970431-1.57079632675     		φ = 1.09982107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29145635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.699219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09982107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.015106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7432 KachelY 4470 -0.29145635 1.09982107 -16.699219 63.015106
    Oben rechts KachelX + 1 7433 KachelY 4470 -0.29107285 1.09982107 -16.677246 63.015106
    Unten links KachelX 7432 KachelY + 1 4471 -0.29145635 1.09964703 -16.699219 63.005134
    Unten rechts KachelX + 1 7433 KachelY + 1 4471 -0.29107285 1.09964703 -16.677246 63.005134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09982107-1.09964703) × R
    0.000174039999999875 × 6371000     		dl = 1108.80883999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09982107-1.09964703) × R
    0.000174039999999875 × 6371000     		dr = 1108.80883999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29145635--0.29107285) × cos(1.09982107) × R
    0.000383499999999981 × 0.453755577896508 × 6371000     		do = 1108.65124772956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29145635--0.29107285) × cos(1.09964703) × R
    0.000383499999999981 × 0.45391066262465 × 6371000     		du = 1109.03016291151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09982107)-sin(1.09964703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453755577896508-0.45391066262465)×R²
    abs(-0.29107285--0.29145635)×0.000155084728142296×R²
    0.000383499999999981×0.000155084728142296×6371000²
    0.000383499999999981×0.000155084728142296×40589641000000     		ar = 1229492.37931508m²