Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7432 / 10617
↖ ↑ ↗
← S 46.935261°
W 16.699219°		 ← 1 668.33 m → S 46.935261°
W 16.677246°		 →
↑
1 668.06 m
↓
↑
1 668.06 m
↓
S 46.950262°
W 16.699219°		 ← 1 667.86 m →
2 782 477 m²		 S 46.950262°
W 16.677246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453643798828125 y=0.648040771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453643798828125 × 214)
    floor (0.453643798828125 × 16384)
    floor (7432.5)     		tx = 7432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648040771484375 × 214)
    floor (0.648040771484375 × 16384)
    floor (10617.5)     		ty = 10617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7432 / 10617 ti = "14/7432/10617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7432/10617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7432 ÷ 214
    7432 ÷ 16384     		x = 0.45361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10617 ÷ 214
    10617 ÷ 16384     		y = 0.64801025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45361328125 × 2 - 1) × π
    -0.0927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29145635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64801025390625 × 2 - 1) × π
    -0.2960205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.929975852629089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29145635} λ = -0.29145635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.929975852629089))-π/2
    2×atan(0.394563237921422)-π/2
    2×0.375810744582241-π/2
    0.751621489164482-1.57079632675     		φ = -0.81917484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29145635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.699219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81917484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.935261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7432 KachelY 10617 -0.29145635 -0.81917484 -16.699219 -46.935261
    Oben rechts KachelX + 1 7433 KachelY 10617 -0.29107285 -0.81917484 -16.677246 -46.935261
    Unten links KachelX 7432 KachelY + 1 10618 -0.29145635 -0.81943666 -16.699219 -46.950262
    Unten rechts KachelX + 1 7433 KachelY + 1 10618 -0.29107285 -0.81943666 -16.677246 -46.950262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81917484--0.81943666) × R
    0.000261820000000079 × 6371000     		dl = 1668.0552200005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81917484--0.81943666) × R
    0.000261820000000079 × 6371000     		dr = 1668.0552200005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29145635--0.29107285) × cos(-0.81917484) × R
    0.000383499999999981 × 0.682824287253553 × 6371000     		do = 1668.32990032435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29145635--0.29107285) × cos(-0.81943666) × R
    0.000383499999999981 × 0.682632982705432 × 6371000     		du = 1667.86249003497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81917484)-sin(-0.81943666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682824287253553-0.682632982705432)×R²
    abs(-0.29107285--0.29145635)×0.000191304548120663×R²
    0.000383499999999981×0.000191304548120663×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191304548120663×40589641000000     		ar = 2782476.58172719m²