Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74319 / 61235
↖ ↑ ↗
← N 11.730235°
E 24.123230°		 ← 299.05 m → N 11.730235°
E 24.125977°		 →
↑
299.05 m
↓
↑
299.05 m
↓
N 11.727545°
E 24.123230°		 ← 299.05 m →
89 432 m²		 N 11.727545°
E 24.125977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567012786865234 y=0.467189788818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567012786865234 × 217)
    floor (0.567012786865234 × 131072)
    floor (74319.5)     		tx = 74319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467189788818359 × 217)
    floor (0.467189788818359 × 131072)
    floor (61235.5)     		ty = 61235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74319 / 61235 ti = "17/74319/61235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74319/61235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74319 ÷ 217
    74319 ÷ 131072     		x = 0.567008972167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61235 ÷ 217
    61235 ÷ 131072     		y = 0.467185974121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567008972167969 × 2 - 1) × π
    0.134017944335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42102979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467185974121094 × 2 - 1) × π
    0.0656280517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.206176605265862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42102979} λ = 0.42102979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.206176605265862))-π/2
    2×atan(1.22897022744476)-π/2
    2×0.887763773258154-π/2
    1.77552754651631-1.57079632675     		φ = 0.20473122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42102979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.123230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20473122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.730235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74319 KachelY 61235 0.42102979 0.20473122 24.123230 11.730235
    Oben rechts KachelX + 1 74320 KachelY 61235 0.42107773 0.20473122 24.125977 11.730235
    Unten links KachelX 74319 KachelY + 1 61236 0.42102979 0.20468428 24.123230 11.727545
    Unten rechts KachelX + 1 74320 KachelY + 1 61236 0.42107773 0.20468428 24.125977 11.727545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20473122-0.20468428) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dl = 299.05473999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20473122-0.20468428) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dr = 299.05473999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42102979-0.42107773) × cos(0.20473122) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979115663935087 × 6371000     		do = 299.047126202769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42102979-0.42107773) × cos(0.20468428) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979125205946195 × 6371000     		du = 299.050040578573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20473122)-sin(0.20468428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979115663935087-0.979125205946195)×R²
    abs(0.42107773-0.42102979)×9.54201110814346e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.54201110814346e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.54201110814346e-06×40589641000000     		ar = 89431.8963697079m²