Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74316 / 53598
↖ ↑ ↗
← N 31.132902°
E 24.114990°		 ← 261.44 m → N 31.132902°
E 24.117737°		 →
↑
261.47 m
↓
↑
261.47 m
↓
N 31.130550°
E 24.114990°		 ← 261.44 m →
68 357 m²		 N 31.130550°
E 24.117737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566989898681641 y=0.408924102783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566989898681641 × 217)
    floor (0.566989898681641 × 131072)
    floor (74316.5)     		tx = 74316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408924102783203 × 217)
    floor (0.408924102783203 × 131072)
    floor (53598.5)     		ty = 53598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74316 / 53598 ti = "17/74316/53598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74316/53598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74316 ÷ 217
    74316 ÷ 131072     		x = 0.566986083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53598 ÷ 217
    53598 ÷ 131072     		y = 0.408920288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566986083984375 × 2 - 1) × π
    0.13397216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42088598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408920288085938 × 2 - 1) × π
    0.182159423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.57227070766423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42088598} λ = 0.42088598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.57227070766423))-π/2
    2×atan(1.77228683112491)-π/2
    2×1.05708398096445-π/2
    2.1141679619289-1.57079632675     		φ = 0.54337164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42088598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.114990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54337164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.132902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74316 KachelY 53598 0.42088598 0.54337164 24.114990 31.132902
    Oben rechts KachelX + 1 74317 KachelY 53598 0.42093392 0.54337164 24.117737 31.132902
    Unten links KachelX 74316 KachelY + 1 53599 0.42088598 0.54333060 24.114990 31.130550
    Unten rechts KachelX + 1 74317 KachelY + 1 53599 0.42093392 0.54333060 24.117737 31.130550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54337164-0.54333060) × R
    4.10400000000477e-05 × 6371000     		dl = 261.465840000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54337164-0.54333060) × R
    4.10400000000477e-05 × 6371000     		dr = 261.465840000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42088598-0.42093392) × cos(0.54337164) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.855970327980501 × 6371000     		do = 261.435370841618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42088598-0.42093392) × cos(0.54333060) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.855991545963544 × 6371000     		du = 261.441851359791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54337164)-sin(0.54333060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855970327980501-0.855991545963544)×R²
    abs(0.42093392-0.42088598)×2.12179830426651e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12179830426651e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12179830426651e-05×40589641000000     		ar = 68357.2660694828m²