Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74315 / 78414
↖ ↑ ↗
← S 33.316758°
E 24.112244°		 ← 255.23 m → S 33.316758°
E 24.114990°		 →
↑
255.22 m
↓
↑
255.22 m
↓
S 33.319054°
E 24.112244°		 ← 255.22 m →
65 139 m²		 S 33.319054°
E 24.114990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566982269287109 y=0.598255157470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566982269287109 × 217)
    floor (0.566982269287109 × 131072)
    floor (74315.5)     		tx = 74315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598255157470703 × 217)
    floor (0.598255157470703 × 131072)
    floor (78414.5)     		ty = 78414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74315 / 78414 ti = "17/74315/78414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74315/78414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74315 ÷ 217
    74315 ÷ 131072     		x = 0.566978454589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78414 ÷ 217
    78414 ÷ 131072     		y = 0.598251342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566978454589844 × 2 - 1) × π
    0.133956909179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.42083804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598251342773438 × 2 - 1) × π
    -0.196502685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.617331393307083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42083804} λ = 0.42083804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617331393307083))-π/2
    2×atan(0.539381916901627)-π/2
    2×0.494654599166377-π/2
    0.989309198332755-1.57079632675     		φ = -0.58148713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42083804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.112244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58148713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.316758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74315 KachelY 78414 0.42083804 -0.58148713 24.112244 -33.316758
    Oben rechts KachelX + 1 74316 KachelY 78414 0.42088598 -0.58148713 24.114990 -33.316758
    Unten links KachelX 74315 KachelY + 1 78415 0.42083804 -0.58152719 24.112244 -33.319054
    Unten rechts KachelX + 1 74316 KachelY + 1 78415 0.42088598 -0.58152719 24.114990 -33.319054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58148713--0.58152719) × R
    4.00600000000084e-05 × 6371000     		dl = 255.222260000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58148713--0.58152719) × R
    4.00600000000084e-05 × 6371000     		dr = 255.222260000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42083804-0.42088598) × cos(-0.58148713) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.835646742436788 × 6371000     		do = 255.228024687178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42083804-0.42088598) × cos(-0.58152719) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.835624738119873 × 6371000     		du = 255.221304002401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58148713)-sin(-0.58152719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835646742436788-0.835624738119873)×R²
    abs(0.42088598-0.42083804)×2.20043169157913e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20043169157913e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20043169157913e-05×40589641000000     		ar = 65139.0156504987m²