Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74314 / 53594
↖ ↑ ↗
← N 31.142305°
E 24.109497°		 ← 261.41 m → N 31.142305°
E 24.112244°		 →
↑
261.40 m
↓
↑
261.40 m
↓
N 31.139954°
E 24.109497°		 ← 261.42 m →
68 334 m²		 N 31.139954°
E 24.112244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566974639892578 y=0.408893585205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566974639892578 × 217)
    floor (0.566974639892578 × 131072)
    floor (74314.5)     		tx = 74314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408893585205078 × 217)
    floor (0.408893585205078 × 131072)
    floor (53594.5)     		ty = 53594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74314 / 53594 ti = "17/74314/53594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74314/53594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74314 ÷ 217
    74314 ÷ 131072     		x = 0.566970825195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53594 ÷ 217
    53594 ÷ 131072     		y = 0.408889770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566970825195312 × 2 - 1) × π
    0.133941650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42079010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408889770507812 × 2 - 1) × π
    0.182220458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.572462455262711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42079010} λ = 0.42079010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.572462455262711))-π/2
    2×atan(1.77262669545163)-π/2
    2×1.05716604202394-π/2
    2.11433208404788-1.57079632675     		φ = 0.54353576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42079010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.109497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54353576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.142305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74314 KachelY 53594 0.42079010 0.54353576 24.109497 31.142305
    Oben rechts KachelX + 1 74315 KachelY 53594 0.42083804 0.54353576 24.112244 31.142305
    Unten links KachelX 74314 KachelY + 1 53595 0.42079010 0.54349473 24.109497 31.139954
    Unten rechts KachelX + 1 74315 KachelY + 1 53595 0.42083804 0.54349473 24.112244 31.139954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54353576-0.54349473) × R
    4.10299999999975e-05 × 6371000     		dl = 261.402129999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54353576-0.54349473) × R
    4.10299999999975e-05 × 6371000     		dr = 261.402129999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42079010-0.42083804) × cos(0.54353576) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.855885462318354 × 6371000     		do = 261.409450683957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42079010-0.42083804) × cos(0.54349473) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.855906680895255 × 6371000     		du = 261.415931383508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54353576)-sin(0.54349473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855885462318354-0.855906680895255)×R²
    abs(0.42083804-0.42079010)×2.12185769005169e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12185769005169e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12185769005169e-05×40589641000000     		ar = 68333.8342548493m²