Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74312 / 60615
↖ ↑ ↗
← N 13.392291°
E 24.104004°		 ← 297.12 m → N 13.392291°
E 24.106751°		 →
↑
297.08 m
↓
↑
297.08 m
↓
N 13.389620°
E 24.104004°		 ← 297.12 m →
88 269 m²		 N 13.389620°
E 24.106751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566959381103516 y=0.462459564208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566959381103516 × 217)
    floor (0.566959381103516 × 131072)
    floor (74312.5)     		tx = 74312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462459564208984 × 217)
    floor (0.462459564208984 × 131072)
    floor (60615.5)     		ty = 60615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74312 / 60615 ti = "17/74312/60615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74312/60615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74312 ÷ 217
    74312 ÷ 131072     		x = 0.56695556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60615 ÷ 217
    60615 ÷ 131072     		y = 0.462455749511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56695556640625 × 2 - 1) × π
    0.1339111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42069423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462455749511719 × 2 - 1) × π
    0.0750885009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.235897483030296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42069423} λ = 0.42069423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.235897483030296))-π/2
    2×atan(1.26604451246683)-π/2
    2×0.902267953933287-π/2
    1.80453590786657-1.57079632675     		φ = 0.23373958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42069423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.104004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23373958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.392291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74312 KachelY 60615 0.42069423 0.23373958 24.104004 13.392291
    Oben rechts KachelX + 1 74313 KachelY 60615 0.42074217 0.23373958 24.106751 13.392291
    Unten links KachelX 74312 KachelY + 1 60616 0.42069423 0.23369295 24.104004 13.389620
    Unten rechts KachelX + 1 74313 KachelY + 1 60616 0.42074217 0.23369295 24.106751 13.389620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23373958-0.23369295) × R
    4.6629999999992e-05 × 6371000     		dl = 297.079729999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23373958-0.23369295) × R
    4.6629999999992e-05 × 6371000     		dr = 297.079729999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42069423-0.42074217) × cos(0.23373958) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.972807048714214 × 6371000     		do = 297.120312730904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42069423-0.42074217) × cos(0.23369295) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.972817847958441 × 6371000     		du = 297.123611098063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23373958)-sin(0.23369295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972807048714214-0.972817847958441)×R²
    abs(0.42074217-0.42069423)×1.07992442269778e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.07992442269778e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.07992442269778e-05×40589641000000     		ar = 88268.9122385923m²