Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74311 / 60614
↖ ↑ ↗
← N 13.394963°
E 24.101257°		 ← 297.12 m → N 13.394963°
E 24.104004°		 →
↑
297.08 m
↓
↑
297.08 m
↓
N 13.392291°
E 24.101257°		 ← 297.12 m →
88 268 m²		 N 13.392291°
E 24.104004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566951751708984 y=0.462451934814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566951751708984 × 217)
    floor (0.566951751708984 × 131072)
    floor (74311.5)     		tx = 74311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462451934814453 × 217)
    floor (0.462451934814453 × 131072)
    floor (60614.5)     		ty = 60614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74311 / 60614 ti = "17/74311/60614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74311/60614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74311 ÷ 217
    74311 ÷ 131072     		x = 0.566947937011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60614 ÷ 217
    60614 ÷ 131072     		y = 0.462448120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566947937011719 × 2 - 1) × π
    0.133895874023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.42064629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462448120117188 × 2 - 1) × π
    0.075103759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.235945419929916
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42064629} λ = 0.42064629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.235945419929916))-π/2
    2×atan(1.26610520417021)-π/2
    2×0.902291270480753-π/2
    1.80458254096151-1.57079632675     		φ = 0.23378621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42064629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.101257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23378621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.394963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74311 KachelY 60614 0.42064629 0.23378621 24.101257 13.394963
    Oben rechts KachelX + 1 74312 KachelY 60614 0.42069423 0.23378621 24.104004 13.394963
    Unten links KachelX 74311 KachelY + 1 60615 0.42064629 0.23373958 24.101257 13.392291
    Unten rechts KachelX + 1 74312 KachelY + 1 60615 0.42069423 0.23373958 24.104004 13.392291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23378621-0.23373958) × R
    4.6629999999992e-05 × 6371000     		dl = 297.079729999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23378621-0.23373958) × R
    4.6629999999992e-05 × 6371000     		dr = 297.079729999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42064629-0.42069423) × cos(0.23378621) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.972796247354757 × 6371000     		do = 297.117013717699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42064629-0.42069423) × cos(0.23373958) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.972807048714214 × 6371000     		du = 297.120312730904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23378621)-sin(0.23373958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972796247354757-0.972807048714214)×R²
    abs(0.42069423-0.42064629)×1.08013594567469e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.08013594567469e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.08013594567469e-05×40589641000000     		ar = 88267.9322646249m²