Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74310 / 60611
↖ ↑ ↗
← N 13.402979°
E 24.098511°		 ← 297.05 m → N 13.402979°
E 24.101257°		 →
↑
297.08 m
↓
↑
297.08 m
↓
N 13.400307°
E 24.098511°		 ← 297.05 m →
88 247 m²		 N 13.400307°
E 24.101257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566944122314453 y=0.462429046630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566944122314453 × 217)
    floor (0.566944122314453 × 131072)
    floor (74310.5)     		tx = 74310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462429046630859 × 217)
    floor (0.462429046630859 × 131072)
    floor (60611.5)     		ty = 60611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74310 / 60611 ti = "17/74310/60611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74310/60611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74310 ÷ 217
    74310 ÷ 131072     		x = 0.566940307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60611 ÷ 217
    60611 ÷ 131072     		y = 0.462425231933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566940307617188 × 2 - 1) × π
    0.133880615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42059836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462425231933594 × 2 - 1) × π
    0.0751495361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.236089230628777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42059836} λ = 0.42059836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.236089230628777))-π/2
    2×atan(1.26628729673757)-π/2
    2×0.90236121856936-π/2
    1.80472243713872-1.57079632675     		φ = 0.23392611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42059836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.098511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23392611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.402979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74310 KachelY 60611 0.42059836 0.23392611 24.098511 13.402979
    Oben rechts KachelX + 1 74311 KachelY 60611 0.42064629 0.23392611 24.101257 13.402979
    Unten links KachelX 74310 KachelY + 1 60612 0.42059836 0.23387948 24.098511 13.400307
    Unten rechts KachelX + 1 74311 KachelY + 1 60612 0.42064629 0.23387948 24.101257 13.400307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23392611-0.23387948) × R
    4.6629999999992e-05 × 6371000     		dl = 297.079729999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23392611-0.23387948) × R
    4.6629999999992e-05 × 6371000     		dr = 297.079729999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42059836-0.42064629) × cos(0.23392611) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.972763828267259 × 6371000     		do = 297.045137310099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42059836-0.42064629) × cos(0.23387948) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.972774635972717 × 6371000     		du = 297.048437572978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23392611)-sin(0.23387948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972763828267259-0.972774635972717)×R²
    abs(0.42064629-0.42059836)×1.0807705458582e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.0807705458582e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.0807705458582e-05×40589641000000     		ar = 88246.5794264633m²