Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7431 / 7435
↖ ↑ ↗
← S 81.167746°
E146.557617°		 ← 750.28 m → S 81.167746°
E146.601562°		 →
↑
749.99 m
↓
↑
749.99 m
↓
S 81.174491°
E146.557617°		 ← 749.71 m →
562 494 m²		 S 81.174491°
E146.601562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90716552734375 y=0.90765380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90716552734375 × 213)
    floor (0.90716552734375 × 8192)
    floor (7431.5)     		tx = 7431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90765380859375 × 213)
    floor (0.90765380859375 × 8192)
    floor (7435.5)     		ty = 7435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7431 / 7435 ti = "13/7431/7435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7431/7435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7431 ÷ 213
    7431 ÷ 8192     		x = 0.9071044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7435 ÷ 213
    7435 ÷ 8192     		y = 0.9075927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9071044921875 × 2 - 1) × π
    0.814208984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55791296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9075927734375 × 2 - 1) × π
    -0.815185546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56098092530188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55791296} λ = 2.55791296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56098092530188))-π/2
    2×atan(0.0772289474471549)-π/2
    2×0.0770759554340172-π/2
    0.154151910868034-1.57079632675     		φ = -1.41664442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55791296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.557617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41664442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.167746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7431 KachelY 7435 2.55791296 -1.41664442 146.557617 -81.167746
    Oben rechts KachelX + 1 7432 KachelY 7435 2.55867995 -1.41664442 146.601562 -81.167746
    Unten links KachelX 7431 KachelY + 1 7436 2.55791296 -1.41676214 146.557617 -81.174491
    Unten rechts KachelX + 1 7432 KachelY + 1 7436 2.55867995 -1.41676214 146.601562 -81.174491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41664442--1.41676214) × R
    0.000117719999999988 × 6371000     		dl = 749.994119999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41664442--1.41676214) × R
    0.000117719999999988 × 6371000     		dr = 749.994119999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55791296-2.55867995) × cos(-1.41664442) × R
    0.000766990000000245 × 0.153542118005905 × 6371000     		do = 750.282529368485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55791296-2.55867995) × cos(-1.41676214) × R
    0.000766990000000245 × 0.15342579285378 × 6371000     		du = 749.714107293166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41664442)-sin(-1.41676214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153542118005905-0.15342579285378)×R²
    abs(2.55867995-2.55791296)×0.000116325152125313×R²
    0.000766990000000245×0.000116325152125313×6371000²
    0.000766990000000245×0.000116325152125313×40589641000000     		ar = 562494.329406929m²