Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7431 / 7351
↖ ↑ ↗
← S 80.582539°
E146.557617°		 ← 799.56 m → S 80.582539°
E146.601562°		 →
↑
799.24 m
↓
↑
799.24 m
↓
S 80.589727°
E146.557617°		 ← 798.96 m →
638 800 m²		 S 80.589727°
E146.601562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90716552734375 y=0.89739990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90716552734375 × 213)
    floor (0.90716552734375 × 8192)
    floor (7431.5)     		tx = 7431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89739990234375 × 213)
    floor (0.89739990234375 × 8192)
    floor (7351.5)     		ty = 7351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7431 / 7351 ti = "13/7431/7351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7431/7351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7431 ÷ 213
    7431 ÷ 8192     		x = 0.9071044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7351 ÷ 213
    7351 ÷ 8192     		y = 0.8973388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9071044921875 × 2 - 1) × π
    0.814208984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55791296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8973388671875 × 2 - 1) × π
    -0.794677734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.49655373221252
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55791296} λ = 2.55791296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49655373221252))-π/2
    2×atan(0.0823683735229198)-π/2
    2×0.0821828507315568-π/2
    0.164365701463114-1.57079632675     		φ = -1.40643063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55791296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.557617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40643063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.582539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7431 KachelY 7351 2.55791296 -1.40643063 146.557617 -80.582539
    Oben rechts KachelX + 1 7432 KachelY 7351 2.55867995 -1.40643063 146.601562 -80.582539
    Unten links KachelX 7431 KachelY + 1 7352 2.55791296 -1.40655608 146.557617 -80.589727
    Unten rechts KachelX + 1 7432 KachelY + 1 7352 2.55867995 -1.40655608 146.601562 -80.589727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40643063--1.40655608) × R
    0.000125450000000082 × 6371000     		dl = 799.241950000525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40643063--1.40655608) × R
    0.000125450000000082 × 6371000     		dr = 799.241950000525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55791296-2.55867995) × cos(-1.40643063) × R
    0.000766990000000245 × 0.163626609665383 × 6371000     		do = 799.560330195597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55791296-2.55867995) × cos(-1.40655608) × R
    0.000766990000000245 × 0.163502849150264 × 6371000     		du = 798.955575268904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40643063)-sin(-1.40655608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163626609665383-0.163502849150264)×R²
    abs(2.55867995-2.55791296)×0.000123760515118282×R²
    0.000766990000000245×0.000123760515118282×6371000²
    0.000766990000000245×0.000123760515118282×40589641000000     		ar = 638800.485531238m²