Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7431 / 4900
↖ ↑ ↗
← N 58.401712°
W 16.721191°		 ← 1 280.15 m → N 58.401712°
W 16.699219°		 →
↑
1 280.38 m
↓
↑
1 280.38 m
↓
N 58.390197°
W 16.721191°		 ← 1 280.57 m →
1 639 343 m²		 N 58.390197°
W 16.699219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453582763671875 y=0.299102783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453582763671875 × 214)
    floor (0.453582763671875 × 16384)
    floor (7431.5)     		tx = 7431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299102783203125 × 214)
    floor (0.299102783203125 × 16384)
    floor (4900.5)     		ty = 4900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7431 / 4900 ti = "14/7431/4900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7431/4900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7431 ÷ 214
    7431 ÷ 16384     		x = 0.45355224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4900 ÷ 214
    4900 ÷ 16384     		y = 0.299072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45355224609375 × 2 - 1) × π
    -0.0928955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29183984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299072265625 × 2 - 1) × π
    0.40185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2624661883938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29183984} λ = -0.29183984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2624661883938))-π/2
    2×atan(3.53412657069642)-π/2
    2×1.29504924208807-π/2
    2.59009848417614-1.57079632675     		φ = 1.01930216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29183984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.721191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01930216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.401712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7431 KachelY 4900 -0.29183984 1.01930216 -16.721191 58.401712
    Oben rechts KachelX + 1 7432 KachelY 4900 -0.29145635 1.01930216 -16.699219 58.401712
    Unten links KachelX 7431 KachelY + 1 4901 -0.29183984 1.01910119 -16.721191 58.390197
    Unten rechts KachelX + 1 7432 KachelY + 1 4901 -0.29145635 1.01910119 -16.699219 58.390197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01930216-1.01910119) × R
    0.000200970000000078 × 6371000     		dl = 1280.3798700005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01930216-1.01910119) × R
    0.000200970000000078 × 6371000     		dr = 1280.3798700005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29183984--0.29145635) × cos(1.01930216) × R
    0.000383490000000042 × 0.52396045883088 × 6371000     		do = 1280.14794239093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29183984--0.29145635) × cos(1.01910119) × R
    0.000383490000000042 × 0.524131622956695 × 6371000     		du = 1280.56613311464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01930216)-sin(1.01910119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52396045883088-0.524131622956695)×R²
    abs(-0.29145635--0.29183984)×0.000171164125815637×R²
    0.000383490000000042×0.000171164125815637×6371000²
    0.000383490000000042×0.000171164125815637×40589641000000     		ar = 1639343.38306874m²