Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74309 / 60613
↖ ↑ ↗
← N 13.397635°
E 24.095764°		 ← 297.11 m → N 13.397635°
E 24.098511°		 →
↑
297.14 m
↓
↑
297.14 m
↓
N 13.394963°
E 24.095764°		 ← 297.12 m →
88 286 m²		 N 13.394963°
E 24.098511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566936492919922 y=0.462444305419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566936492919922 × 217)
    floor (0.566936492919922 × 131072)
    floor (74309.5)     		tx = 74309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462444305419922 × 217)
    floor (0.462444305419922 × 131072)
    floor (60613.5)     		ty = 60613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74309 / 60613 ti = "17/74309/60613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74309/60613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74309 ÷ 217
    74309 ÷ 131072     		x = 0.566932678222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60613 ÷ 217
    60613 ÷ 131072     		y = 0.462440490722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566932678222656 × 2 - 1) × π
    0.133865356445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.42055042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462440490722656 × 2 - 1) × π
    0.0751190185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.235993356829536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42055042} λ = 0.42055042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.235993356829536))-π/2
    2×atan(1.26616589878304)-π/2
    2×0.902314586769285-π/2
    1.80462917353857-1.57079632675     		φ = 0.23383285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42055042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.095764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23383285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.397635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74309 KachelY 60613 0.42055042 0.23383285 24.095764 13.397635
    Oben rechts KachelX + 1 74310 KachelY 60613 0.42059836 0.23383285 24.098511 13.397635
    Unten links KachelX 74309 KachelY + 1 60614 0.42055042 0.23378621 24.095764 13.394963
    Unten rechts KachelX + 1 74310 KachelY + 1 60614 0.42059836 0.23378621 24.098511 13.394963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23383285-0.23378621) × R
    4.66400000000144e-05 × 6371000     		dl = 297.143440000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23383285-0.23378621) × R
    4.66400000000144e-05 × 6371000     		dr = 297.143440000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42055042-0.42059836) × cos(0.23383285) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.972785441563017 × 6371000     		do = 297.11371335076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42055042-0.42059836) × cos(0.23378621) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.972796247354757 × 6371000     		du = 297.117013717699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23383285)-sin(0.23378621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972785441563017-0.972796247354757)×R²
    abs(0.42059836-0.42055042)×1.08057917403981e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.08057917403981e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.08057917403981e-05×40589641000000     		ar = 88285.8812134331m²