Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74308 / 55156
↖ ↑ ↗
← N 27.401032°
E 24.093017°		 ← 271.16 m → N 27.401032°
E 24.095764°		 →
↑
271.15 m
↓
↑
271.15 m
↓
N 27.398594°
E 24.093017°		 ← 271.17 m →
73 526 m²		 N 27.398594°
E 24.095764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566928863525391 y=0.420810699462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566928863525391 × 217)
    floor (0.566928863525391 × 131072)
    floor (74308.5)     		tx = 74308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420810699462891 × 217)
    floor (0.420810699462891 × 131072)
    floor (55156.5)     		ty = 55156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74308 / 55156 ti = "17/74308/55156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74308/55156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74308 ÷ 217
    74308 ÷ 131072     		x = 0.566925048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55156 ÷ 217
    55156 ÷ 131072     		y = 0.420806884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566925048828125 × 2 - 1) × π
    0.13385009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42050248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420806884765625 × 2 - 1) × π
    0.15838623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.497585018056183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42050248} λ = 0.42050248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497585018056183))-π/2
    2×atan(1.64474444251791)-π/2
    2×1.02451728024234-π/2
    2.04903456048467-1.57079632675     		φ = 0.47823823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42050248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.093017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47823823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.401032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74308 KachelY 55156 0.42050248 0.47823823 24.093017 27.401032
    Oben rechts KachelX + 1 74309 KachelY 55156 0.42055042 0.47823823 24.095764 27.401032
    Unten links KachelX 74308 KachelY + 1 55157 0.42050248 0.47819567 24.093017 27.398594
    Unten rechts KachelX + 1 74309 KachelY + 1 55157 0.42055042 0.47819567 24.095764 27.398594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47823823-0.47819567) × R
    4.25599999999693e-05 × 6371000     		dl = 271.149759999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47823823-0.47819567) × R
    4.25599999999693e-05 × 6371000     		dr = 271.149759999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42050248-0.42055042) × cos(0.47823823) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887807094514588 × 6371000     		do = 271.15913881919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42050248-0.42055042) × cos(0.47819567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887826680494056 × 6371000     		du = 271.165120881463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47823823)-sin(0.47819567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887807094514588-0.887826680494056)×R²
    abs(0.42055042-0.42050248)×1.95859794677178e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95859794677178e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95859794677178e-05×40589641000000     		ar = 73525.5464409896m²