Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74303 / 90178
↖ ↑ ↗
← S 55.878393°
E 24.079285°		 ← 171.33 m → S 55.878393°
E 24.082031°		 →
↑
171.32 m
↓
↑
171.32 m
↓
S 55.879933°
E 24.079285°		 ← 171.32 m →
29 351 m²		 S 55.879933°
E 24.082031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566890716552734 y=0.688007354736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566890716552734 × 217)
    floor (0.566890716552734 × 131072)
    floor (74303.5)     		tx = 74303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688007354736328 × 217)
    floor (0.688007354736328 × 131072)
    floor (90178.5)     		ty = 90178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74303 / 90178 ti = "17/74303/90178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74303/90178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74303 ÷ 217
    74303 ÷ 131072     		x = 0.566886901855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90178 ÷ 217
    90178 ÷ 131072     		y = 0.688003540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566886901855469 × 2 - 1) × π
    0.133773803710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42026280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688003540039062 × 2 - 1) × π
    -0.376007080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.18126108043742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42026280} λ = 0.42026280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18126108043742))-π/2
    2×atan(0.306891479628725)-π/2
    2×0.297767199747569-π/2
    0.595534399495139-1.57079632675     		φ = -0.97526193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42026280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.079285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97526193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.878393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74303 KachelY 90178 0.42026280 -0.97526193 24.079285 -55.878393
    Oben rechts KachelX + 1 74304 KachelY 90178 0.42031074 -0.97526193 24.082031 -55.878393
    Unten links KachelX 74303 KachelY + 1 90179 0.42026280 -0.97528882 24.079285 -55.879933
    Unten rechts KachelX + 1 74304 KachelY + 1 90179 0.42031074 -0.97528882 24.082031 -55.879933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97526193--0.97528882) × R
    2.68899999998906e-05 × 6371000     		dl = 171.316189999303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97526193--0.97528882) × R
    2.68899999998906e-05 × 6371000     		dr = 171.316189999303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42026280-0.42031074) × cos(-0.97526193) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.560951234346133 × 6371000     		do = 171.328945854167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42026280-0.42031074) × cos(-0.97528882) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.560928973287849 × 6371000     		du = 171.322146753968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97526193)-sin(-0.97528882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560951234346133-0.560928973287849)×R²
    abs(0.42031074-0.42026280)×2.22610582842897e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22610582842897e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22610582842897e-05×40589641000000     		ar = 29350.8398441834m²