Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74303 / 55170
↖ ↑ ↗
← N 27.366889°
E 24.079285°		 ← 271.24 m → N 27.366889°
E 24.082031°		 →
↑
271.21 m
↓
↑
271.21 m
↓
N 27.364450°
E 24.079285°		 ← 271.25 m →
73 566 m²		 N 27.364450°
E 24.082031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566890716552734 y=0.420917510986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566890716552734 × 217)
    floor (0.566890716552734 × 131072)
    floor (74303.5)     		tx = 74303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420917510986328 × 217)
    floor (0.420917510986328 × 131072)
    floor (55170.5)     		ty = 55170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74303 / 55170 ti = "17/74303/55170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74303/55170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74303 ÷ 217
    74303 ÷ 131072     		x = 0.566886901855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55170 ÷ 217
    55170 ÷ 131072     		y = 0.420913696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566886901855469 × 2 - 1) × π
    0.133773803710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42026280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420913696289062 × 2 - 1) × π
    0.158172607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.496913901461502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42026280} λ = 0.42026280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496913901461502))-π/2
    2×atan(1.64364099754006)-π/2
    2×1.02421932321263-π/2
    2.04843864642526-1.57079632675     		φ = 0.47764232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42026280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.079285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47764232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.366889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74303 KachelY 55170 0.42026280 0.47764232 24.079285 27.366889
    Oben rechts KachelX + 1 74304 KachelY 55170 0.42031074 0.47764232 24.082031 27.366889
    Unten links KachelX 74303 KachelY + 1 55171 0.42026280 0.47759975 24.079285 27.364450
    Unten rechts KachelX + 1 74304 KachelY + 1 55171 0.42031074 0.47759975 24.082031 27.364450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47764232-0.47759975) × R
    4.25700000000195e-05 × 6371000     		dl = 271.213470000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47764232-0.47759975) × R
    4.25700000000195e-05 × 6371000     		dr = 271.213470000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42026280-0.42031074) × cos(0.47764232) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.888081184049 × 6371000     		do = 271.242852818378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42026280-0.42031074) × cos(0.47759975) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.888100752104731 × 6371000     		du = 271.24882940628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47764232)-sin(0.47759975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888081184049-0.888100752104731)×R²
    abs(0.42031074-0.42026280)×1.95680557304456e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.95680557304456e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.95680557304456e-05×40589641000000     		ar = 73565.5258022514m²