Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74302 / 60606
↖ ↑ ↗
← N 13.416337°
E 24.076538°		 ← 297.09 m → N 13.416337°
E 24.079285°		 →
↑
297.08 m
↓
↑
297.08 m
↓
N 13.413666°
E 24.076538°		 ← 297.09 m →
88 260 m²		 N 13.413666°
E 24.079285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566883087158203 y=0.462390899658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566883087158203 × 217)
    floor (0.566883087158203 × 131072)
    floor (74302.5)     		tx = 74302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462390899658203 × 217)
    floor (0.462390899658203 × 131072)
    floor (60606.5)     		ty = 60606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74302 / 60606 ti = "17/74302/60606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74302/60606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74302 ÷ 217
    74302 ÷ 131072     		x = 0.566879272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60606 ÷ 217
    60606 ÷ 131072     		y = 0.462387084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566879272460938 × 2 - 1) × π
    0.133758544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42021486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462387084960938 × 2 - 1) × π
    0.075225830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.236328915126877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42021486} λ = 0.42021486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.236328915126877))-π/2
    2×atan(1.2665908425489)-π/2
    2×0.902477793534873-π/2
    1.80495558706975-1.57079632675     		φ = 0.23415926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42021486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.076538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23415926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.416337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74302 KachelY 60606 0.42021486 0.23415926 24.076538 13.416337
    Oben rechts KachelX + 1 74303 KachelY 60606 0.42026280 0.23415926 24.079285 13.416337
    Unten links KachelX 74302 KachelY + 1 60607 0.42021486 0.23411263 24.076538 13.413666
    Unten rechts KachelX + 1 74303 KachelY + 1 60607 0.42026280 0.23411263 24.079285 13.413666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23415926-0.23411263) × R
    4.66300000000197e-05 × 6371000     		dl = 297.079730000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23415926-0.23411263) × R
    4.66300000000197e-05 × 6371000     		dr = 297.079730000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42021486-0.42026280) × cos(0.23415926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.9727097580134 × 6371000     		do = 297.090597646269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42021486-0.42026280) × cos(0.23411263) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.972720576294302 × 6371000     		du = 297.093901827719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23415926)-sin(0.23411263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9727097580134-0.972720576294302)×R²
    abs(0.42026280-0.42021486)×1.08182809022139e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08182809022139e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08182809022139e-05×40589641000000     		ar = 88260.0853529829m²