Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74300 / 78399
↖ ↑ ↗
← S 33.282324°
E 24.071045°		 ← 255.33 m → S 33.282324°
E 24.073792°		 →
↑
255.29 m
↓
↑
255.29 m
↓
S 33.284620°
E 24.071045°		 ← 255.32 m →
65 181 m²		 S 33.284620°
E 24.073792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566867828369141 y=0.598140716552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566867828369141 × 217)
    floor (0.566867828369141 × 131072)
    floor (74300.5)     		tx = 74300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598140716552734 × 217)
    floor (0.598140716552734 × 131072)
    floor (78399.5)     		ty = 78399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74300 / 78399 ti = "17/74300/78399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74300/78399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74300 ÷ 217
    74300 ÷ 131072     		x = 0.566864013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78399 ÷ 217
    78399 ÷ 131072     		y = 0.598136901855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566864013671875 × 2 - 1) × π
    0.13372802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42011899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598136901855469 × 2 - 1) × π
    -0.196273803710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.616612339812782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42011899} λ = 0.42011899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.616612339812782))-π/2
    2×atan(0.53976990082762)-π/2
    2×0.494955095840728-π/2
    0.989910191681457-1.57079632675     		φ = -0.58088614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42011899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.071045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58088614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.282324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74300 KachelY 78399 0.42011899 -0.58088614 24.071045 -33.282324
    Oben rechts KachelX + 1 74301 KachelY 78399 0.42016693 -0.58088614 24.073792 -33.282324
    Unten links KachelX 74300 KachelY + 1 78400 0.42011899 -0.58092621 24.071045 -33.284620
    Unten rechts KachelX + 1 74301 KachelY + 1 78400 0.42016693 -0.58092621 24.073792 -33.284620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58088614--0.58092621) × R
    4.00699999999476e-05 × 6371000     		dl = 255.285969999666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58088614--0.58092621) × R
    4.00699999999476e-05 × 6371000     		dr = 255.285969999666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42011899-0.42016693) × cos(-0.58088614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.835976695633735 × 6371000     		do = 255.328800886521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42011899-0.42016693) × cos(-0.58092621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.835954705951289 × 6371000     		du = 255.322084671487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58088614)-sin(-0.58092621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835976695633735-0.835954705951289)×R²
    abs(0.42016693-0.42011899)×2.19896824459331e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.19896824459331e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.19896824459331e-05×40589641000000     		ar = 65181.0033340951m²