Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7430 / 7431
↖ ↑ ↗
← S 81.140715°
E146.513672°		 ← 752.56 m → S 81.140715°
E146.557617°		 →
↑
752.29 m
↓
↑
752.29 m
↓
S 81.147481°
E146.513672°		 ← 751.99 m →
565 928 m²		 S 81.147481°
E146.557617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90704345703125 y=0.90716552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90704345703125 × 213)
    floor (0.90704345703125 × 8192)
    floor (7430.5)     		tx = 7430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90716552734375 × 213)
    floor (0.90716552734375 × 8192)
    floor (7431.5)     		ty = 7431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7430 / 7431 ti = "13/7430/7431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7430/7431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7430 ÷ 213
    7430 ÷ 8192     		x = 0.906982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7431 ÷ 213
    7431 ÷ 8192     		y = 0.9071044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906982421875 × 2 - 1) × π
    0.81396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55714597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9071044921875 × 2 - 1) × π
    -0.814208984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5579129637262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55714597} λ = 2.55714597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5579129637262))-π/2
    2×atan(0.0774662467168446)-π/2
    2×0.0773118434669037-π/2
    0.154623686933807-1.57079632675     		φ = -1.41617264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55714597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.513672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41617264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.140715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7430 KachelY 7431 2.55714597 -1.41617264 146.513672 -81.140715
    Oben rechts KachelX + 1 7431 KachelY 7431 2.55791296 -1.41617264 146.557617 -81.140715
    Unten links KachelX 7430 KachelY + 1 7432 2.55714597 -1.41629072 146.513672 -81.147481
    Unten rechts KachelX + 1 7431 KachelY + 1 7432 2.55791296 -1.41629072 146.557617 -81.147481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41617264--1.41629072) × R
    0.000118079999999798 × 6371000     		dl = 752.287679998715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41617264--1.41629072) × R
    0.000118079999999798 × 6371000     		dr = 752.287679998715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55714597-2.55791296) × cos(-1.41617264) × R
    0.000766989999999801 × 0.154008286583085 × 6371000     		do = 752.560458992448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55714597-2.55791296) × cos(-1.41629072) × R
    0.000766989999999801 × 0.153891614256514 × 6371000     		du = 751.990340451529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41617264)-sin(-1.41629072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154008286583085-0.153891614256514)×R²
    abs(2.55791296-2.55714597)×0.00011667232657131×R²
    0.000766989999999801×0.00011667232657131×6371000²
    0.000766989999999801×0.00011667232657131×40589641000000     		ar = 565927.515836173m²