Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7430 / 7303
↖ ↑ ↗
← S 80.231047°
E146.513672°		 ← 829.12 m → S 80.231047°
E146.557617°		 →
↑
828.80 m
↓
↑
828.80 m
↓
S 80.238500°
E146.513672°		 ← 828.49 m →
686 916 m²		 S 80.238500°
E146.557617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90704345703125 y=0.89154052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90704345703125 × 213)
    floor (0.90704345703125 × 8192)
    floor (7430.5)     		tx = 7430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89154052734375 × 213)
    floor (0.89154052734375 × 8192)
    floor (7303.5)     		ty = 7303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7430 / 7303 ti = "13/7430/7303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7430/7303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7430 ÷ 213
    7430 ÷ 8192     		x = 0.906982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7303 ÷ 213
    7303 ÷ 8192     		y = 0.8914794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906982421875 × 2 - 1) × π
    0.81396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55714597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8914794921875 × 2 - 1) × π
    -0.782958984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.45973819330432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55714597} λ = 2.55714597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45973819330432))-π/2
    2×atan(0.0854573213377581)-π/2
    2×0.0852501978619771-π/2
    0.170500395723954-1.57079632675     		φ = -1.40029593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55714597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.513672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40029593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.231047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7430 KachelY 7303 2.55714597 -1.40029593 146.513672 -80.231047
    Oben rechts KachelX + 1 7431 KachelY 7303 2.55791296 -1.40029593 146.557617 -80.231047
    Unten links KachelX 7430 KachelY + 1 7304 2.55714597 -1.40042602 146.513672 -80.238500
    Unten rechts KachelX + 1 7431 KachelY + 1 7304 2.55791296 -1.40042602 146.557617 -80.238500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40029593--1.40042602) × R
    0.000130090000000083 × 6371000     		dl = 828.803390000527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40029593--1.40042602) × R
    0.000130090000000083 × 6371000     		dr = 828.803390000527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55714597-2.55791296) × cos(-1.40029593) × R
    0.000766989999999801 × 0.169675511323503 × 6371000     		do = 829.1182475594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55714597-2.55791296) × cos(-1.40042602) × R
    0.000766989999999801 × 0.169547306195044 × 6371000     		du = 828.491774059442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40029593)-sin(-1.40042602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169675511323503-0.169547306195044)×R²
    abs(2.55791296-2.55714597)×0.000128205128458958×R²
    0.000766989999999801×0.000128205128458958×6371000²
    0.000766989999999801×0.000128205128458958×40589641000000     		ar = 686916.403578082m²