Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74299 / 78396
↖ ↑ ↗
← S 33.275436°
E 24.068298°		 ← 255.35 m → S 33.275436°
E 24.071045°		 →
↑
255.29 m
↓
↑
255.29 m
↓
S 33.277731°
E 24.068298°		 ← 255.34 m →
65 186 m²		 S 33.277731°
E 24.071045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566860198974609 y=0.598117828369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566860198974609 × 217)
    floor (0.566860198974609 × 131072)
    floor (74299.5)     		tx = 74299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598117828369141 × 217)
    floor (0.598117828369141 × 131072)
    floor (78396.5)     		ty = 78396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74299 / 78396 ti = "17/74299/78396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74299/78396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74299 ÷ 217
    74299 ÷ 131072     		x = 0.566856384277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78396 ÷ 217
    78396 ÷ 131072     		y = 0.598114013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566856384277344 × 2 - 1) × π
    0.133712768554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.42007105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598114013671875 × 2 - 1) × π
    -0.19622802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.616468529113922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42007105} λ = 0.42007105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.616468529113922))-π/2
    2×atan(0.53984753109618)-π/2
    2×0.49501520940919-π/2
    0.990030418818379-1.57079632675     		φ = -0.58076591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42007105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.068298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58076591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.275436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74299 KachelY 78396 0.42007105 -0.58076591 24.068298 -33.275436
    Oben rechts KachelX + 1 74300 KachelY 78396 0.42011899 -0.58076591 24.071045 -33.275436
    Unten links KachelX 74299 KachelY + 1 78397 0.42007105 -0.58080598 24.068298 -33.277731
    Unten rechts KachelX + 1 74300 KachelY + 1 78397 0.42011899 -0.58080598 24.071045 -33.277731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58076591--0.58080598) × R
    4.00700000000587e-05 × 6371000     		dl = 255.285970000374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58076591--0.58080598) × R
    4.00700000000587e-05 × 6371000     		dr = 255.285970000374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42007105-0.42011899) × cos(-0.58076591) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.836042667600731 × 6371000     		do = 255.348950423656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42007105-0.42011899) × cos(-0.58080598) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.836020681945806 × 6371000     		du = 255.342235438731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58076591)-sin(-0.58080598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836042667600731-0.836020681945806)×R²
    abs(0.42011899-0.42007105)×2.19856549253938e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19856549253938e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19856549253938e-05×40589641000000     		ar = 65186.1473855734m²