Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74299 / 55163
↖ ↑ ↗
← N 27.383962°
E 24.068298°		 ← 271.20 m → N 27.383962°
E 24.071045°		 →
↑
271.21 m
↓
↑
271.21 m
↓
N 27.381523°
E 24.068298°		 ← 271.21 m →
73 554 m²		 N 27.381523°
E 24.071045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566860198974609 y=0.420864105224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566860198974609 × 217)
    floor (0.566860198974609 × 131072)
    floor (74299.5)     		tx = 74299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420864105224609 × 217)
    floor (0.420864105224609 × 131072)
    floor (55163.5)     		ty = 55163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74299 / 55163 ti = "17/74299/55163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74299/55163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74299 ÷ 217
    74299 ÷ 131072     		x = 0.566856384277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55163 ÷ 217
    55163 ÷ 131072     		y = 0.420860290527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566856384277344 × 2 - 1) × π
    0.133712768554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.42007105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420860290527344 × 2 - 1) × π
    0.158279418945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.497249459758842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42007105} λ = 0.42007105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497249459758842))-π/2
    2×atan(1.64419262746146)-π/2
    2×1.02436831322419-π/2
    2.04873662644838-1.57079632675     		φ = 0.47794030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42007105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.068298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47794030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.383962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74299 KachelY 55163 0.42007105 0.47794030 24.068298 27.383962
    Oben rechts KachelX + 1 74300 KachelY 55163 0.42011899 0.47794030 24.071045 27.383962
    Unten links KachelX 74299 KachelY + 1 55164 0.42007105 0.47789773 24.068298 27.381523
    Unten rechts KachelX + 1 74300 KachelY + 1 55164 0.42011899 0.47789773 24.071045 27.381523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47794030-0.47789773) × R
    4.2569999999964e-05 × 6371000     		dl = 271.213469999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47794030-0.47789773) × R
    4.2569999999964e-05 × 6371000     		dr = 271.213469999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42007105-0.42011899) × cos(0.47794030) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.887944167197604 × 6371000     		do = 271.201004345148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42007105-0.42011899) × cos(0.47789773) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.887963746517907 × 6371000     		du = 271.20698437354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47794030)-sin(0.47789773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887944167197604-0.887963746517907)×R²
    abs(0.42011899-0.42007105)×1.95793203030536e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.95793203030536e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.95793203030536e-05×40589641000000     		ar = 73554.1763991699m²