Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74297 / 90185
↖ ↑ ↗
← S 55.889176°
E 24.062805°		 ← 171.25 m → S 55.889176°
E 24.065552°		 →
↑
171.32 m
↓
↑
171.32 m
↓
S 55.890716°
E 24.062805°		 ← 171.24 m →
29 337 m²		 S 55.890716°
E 24.065552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566844940185547 y=0.688060760498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566844940185547 × 217)
    floor (0.566844940185547 × 131072)
    floor (74297.5)     		tx = 74297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688060760498047 × 217)
    floor (0.688060760498047 × 131072)
    floor (90185.5)     		ty = 90185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74297 / 90185 ti = "17/74297/90185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74297/90185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74297 ÷ 217
    74297 ÷ 131072     		x = 0.566841125488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90185 ÷ 217
    90185 ÷ 131072     		y = 0.688056945800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566841125488281 × 2 - 1) × π
    0.133682250976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.41997518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688056945800781 × 2 - 1) × π
    -0.376113891601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.18159663873476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41997518} λ = 0.41997518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18159663873476))-π/2
    2×atan(0.306788516922313)-π/2
    2×0.297673096898299-π/2
    0.595346193796598-1.57079632675     		φ = -0.97545013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41997518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.062805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97545013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.889176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74297 KachelY 90185 0.41997518 -0.97545013 24.062805 -55.889176
    Oben rechts KachelX + 1 74298 KachelY 90185 0.42002311 -0.97545013 24.065552 -55.889176
    Unten links KachelX 74297 KachelY + 1 90186 0.41997518 -0.97547702 24.062805 -55.890716
    Unten rechts KachelX + 1 74298 KachelY + 1 90186 0.42002311 -0.97547702 24.065552 -55.890716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97545013--0.97547702) × R
    2.68900000000016e-05 × 6371000     		dl = 171.31619000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97545013--0.97547702) × R
    2.68900000000016e-05 × 6371000     		dr = 171.31619000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41997518-0.42002311) × cos(-0.97545013) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.560795423259905 × 6371000     		do = 171.24562886126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41997518-0.42002311) × cos(-0.97547702) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.560773159363266 × 6371000     		du = 171.238830312587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97545013)-sin(-0.97547702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560795423259905-0.560773159363266)×R²
    abs(0.42002311-0.41997518)×2.2263896638508e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.2263896638508e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.2263896638508e-05×40589641000000     		ar = 29336.566341608m²