Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74297 / 78398
↖ ↑ ↗
← S 33.280028°
E 24.062805°		 ← 255.28 m → S 33.280028°
E 24.065552°		 →
↑
255.35 m
↓
↑
255.35 m
↓
S 33.282324°
E 24.062805°		 ← 255.28 m →
65 185 m²		 S 33.282324°
E 24.065552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566844940185547 y=0.598133087158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566844940185547 × 217)
    floor (0.566844940185547 × 131072)
    floor (74297.5)     		tx = 74297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598133087158203 × 217)
    floor (0.598133087158203 × 131072)
    floor (78398.5)     		ty = 78398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74297 / 78398 ti = "17/74297/78398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74297/78398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74297 ÷ 217
    74297 ÷ 131072     		x = 0.566841125488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78398 ÷ 217
    78398 ÷ 131072     		y = 0.598129272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566841125488281 × 2 - 1) × π
    0.133682250976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.41997518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598129272460938 × 2 - 1) × π
    -0.196258544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.616564402913162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41997518} λ = 0.41997518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.616564402913162))-π/2
    2×atan(0.539795776343365)-π/2
    2×0.49497513316981-π/2
    0.989950266339619-1.57079632675     		φ = -0.58084606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41997518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.062805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58084606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.280028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74297 KachelY 78398 0.41997518 -0.58084606 24.062805 -33.280028
    Oben rechts KachelX + 1 74298 KachelY 78398 0.42002311 -0.58084606 24.065552 -33.280028
    Unten links KachelX 74297 KachelY + 1 78399 0.41997518 -0.58088614 24.062805 -33.282324
    Unten rechts KachelX + 1 74298 KachelY + 1 78399 0.42002311 -0.58088614 24.065552 -33.282324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58084606--0.58088614) × R
    4.00799999999979e-05 × 6371000     		dl = 255.349679999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58084606--0.58088614) × R
    4.00799999999979e-05 × 6371000     		dr = 255.349679999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41997518-0.42002311) × cos(-0.58084606) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.835998689461247 × 6371000     		do = 255.282256891087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41997518-0.42002311) × cos(-0.58088614) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.835976695633735 × 6371000     		du = 255.27554081127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58084606)-sin(-0.58088614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835998689461247-0.835976695633735)×R²
    abs(0.42002311-0.41997518)×2.19938275122233e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.19938275122233e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.19938275122233e-05×40589641000000     		ar = 65185.385141222m²