Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74297 / 60938
↖ ↑ ↗
← N 12.527753°
E 24.062805°		 ← 298.09 m → N 12.527753°
E 24.065552°		 →
↑
298.16 m
↓
↑
298.16 m
↓
N 12.525072°
E 24.062805°		 ← 298.09 m →
88 880 m²		 N 12.525072°
E 24.065552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566844940185547 y=0.464923858642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566844940185547 × 217)
    floor (0.566844940185547 × 131072)
    floor (74297.5)     		tx = 74297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464923858642578 × 217)
    floor (0.464923858642578 × 131072)
    floor (60938.5)     		ty = 60938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74297 / 60938 ti = "17/74297/60938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74297/60938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74297 ÷ 217
    74297 ÷ 131072     		x = 0.566841125488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60938 ÷ 217
    60938 ÷ 131072     		y = 0.464920043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566841125488281 × 2 - 1) × π
    0.133682250976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.41997518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464920043945312 × 2 - 1) × π
    0.070159912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.220413864453018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41997518} λ = 0.41997518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.220413864453018))-π/2
    2×atan(1.246592544183)-π/2
    2×0.894723432566872-π/2
    1.78944686513374-1.57079632675     		φ = 0.21865054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41997518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.062805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21865054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.527753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74297 KachelY 60938 0.41997518 0.21865054 24.062805 12.527753
    Oben rechts KachelX + 1 74298 KachelY 60938 0.42002311 0.21865054 24.065552 12.527753
    Unten links KachelX 74297 KachelY + 1 60939 0.41997518 0.21860374 24.062805 12.525072
    Unten rechts KachelX + 1 74298 KachelY + 1 60939 0.42002311 0.21860374 24.065552 12.525072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21865054-0.21860374) × R
    4.68000000000135e-05 × 6371000     		dl = 298.162800000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21865054-0.21860374) × R
    4.68000000000135e-05 × 6371000     		dr = 298.162800000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41997518-0.42002311) × cos(0.21865054) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.976191052813259 × 6371000     		do = 298.091681554731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41997518-0.42002311) × cos(0.21860374) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.97620120324875 × 6371000     		du = 298.094781112318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21865054)-sin(0.21860374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976191052813259-0.97620120324875)×R²
    abs(0.42002311-0.41997518)×1.01504354915738e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.01504354915738e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.01504354915738e-05×40589641000000     		ar = 88880.3125316889m²