Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74295 / 56289
↖ ↑ ↗
← N 24.604572°
E 24.057312°		 ← 277.69 m → N 24.604572°
E 24.060059°		 →
↑
277.65 m
↓
↑
277.65 m
↓
N 24.602075°
E 24.057312°		 ← 277.70 m →
77 102 m²		 N 24.602075°
E 24.060059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566829681396484 y=0.429454803466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566829681396484 × 217)
    floor (0.566829681396484 × 131072)
    floor (74295.5)     		tx = 74295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429454803466797 × 217)
    floor (0.429454803466797 × 131072)
    floor (56289.5)     		ty = 56289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74295 / 56289 ti = "17/74295/56289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74295/56289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74295 ÷ 217
    74295 ÷ 131072     		x = 0.566825866699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56289 ÷ 217
    56289 ÷ 131072     		y = 0.429450988769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566825866699219 × 2 - 1) × π
    0.133651733398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.41987930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429450988769531 × 2 - 1) × π
    0.141098022460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.443272510786659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41987930} λ = 0.41987930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.443272510786659))-π/2
    2×atan(1.55779679293388)-π/2
    2×1.00011355928482-π/2
    2.00022711856964-1.57079632675     		φ = 0.42943079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41987930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.057312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42943079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.604572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74295 KachelY 56289 0.41987930 0.42943079 24.057312 24.604572
    Oben rechts KachelX + 1 74296 KachelY 56289 0.41992724 0.42943079 24.060059 24.604572
    Unten links KachelX 74295 KachelY + 1 56290 0.41987930 0.42938721 24.057312 24.602075
    Unten rechts KachelX + 1 74296 KachelY + 1 56290 0.41992724 0.42938721 24.060059 24.602075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42943079-0.42938721) × R
    4.35799999999875e-05 × 6371000     		dl = 277.648179999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42943079-0.42938721) × R
    4.35799999999875e-05 × 6371000     		dr = 277.648179999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41987930-0.41992724) × cos(0.42943079) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.909202889439064 × 6371000     		do = 277.693965316882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41987930-0.41992724) × cos(0.42938721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.909221033254339 × 6371000     		du = 277.699506905089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42943079)-sin(0.42938721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909202889439064-0.909221033254339)×R²
    abs(0.41992724-0.41987930)×1.81438152752067e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81438152752067e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81438152752067e-05×40589641000000     		ar = 77101.9933853509m²