Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74294 / 56285
↖ ↑ ↗
← N 24.614560°
E 24.054566°		 ← 277.61 m → N 24.614560°
E 24.057312°		 →
↑
277.65 m
↓
↑
277.65 m
↓
N 24.612063°
E 24.054566°		 ← 277.62 m →
77 080 m²		 N 24.612063°
E 24.057312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566822052001953 y=0.429424285888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566822052001953 × 217)
    floor (0.566822052001953 × 131072)
    floor (74294.5)     		tx = 74294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429424285888672 × 217)
    floor (0.429424285888672 × 131072)
    floor (56285.5)     		ty = 56285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74294 / 56285 ti = "17/74294/56285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74294/56285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74294 ÷ 217
    74294 ÷ 131072     		x = 0.566818237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56285 ÷ 217
    56285 ÷ 131072     		y = 0.429420471191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566818237304688 × 2 - 1) × π
    0.133636474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41983137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429420471191406 × 2 - 1) × π
    0.141159057617188 × 3.1415926535     		Φ = 0.443464258385139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41983137} λ = 0.41983137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.443464258385139))-π/2
    2×atan(1.55809552536754)-π/2
    2×1.00020072454014-π/2
    2.00040144908028-1.57079632675     		φ = 0.42960512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41983137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.054566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42960512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.614560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74294 KachelY 56285 0.41983137 0.42960512 24.054566 24.614560
    Oben rechts KachelX + 1 74295 KachelY 56285 0.41987930 0.42960512 24.057312 24.614560
    Unten links KachelX 74294 KachelY + 1 56286 0.41983137 0.42956154 24.054566 24.612063
    Unten rechts KachelX + 1 74295 KachelY + 1 56286 0.41987930 0.42956154 24.057312 24.612063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42960512-0.42956154) × R
    4.35799999999875e-05 × 6371000     		dl = 277.648179999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42960512-0.42956154) × R
    4.35799999999875e-05 × 6371000     		dr = 277.648179999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41983137-0.41987930) × cos(0.42960512) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.909130292745459 × 6371000     		do = 277.613871727418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41983137-0.41987930) × cos(0.42956154) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.909148443468016 × 6371000     		du = 277.619414268903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42960512)-sin(0.42956154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909130292745459-0.909148443468016)×R²
    abs(0.41987930-0.41983137)×1.81507225567312e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81507225567312e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81507225567312e-05×40589641000000     		ar = 77079.7556782853m²