Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74292 / 56287
↖ ↑ ↗
← N 24.609566°
E 24.049072°		 ← 277.68 m → N 24.609566°
E 24.051819°		 →
↑
277.65 m
↓
↑
277.65 m
↓
N 24.607069°
E 24.049072°		 ← 277.69 m →
77 099 m²		 N 24.607069°
E 24.051819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566806793212891 y=0.429439544677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566806793212891 × 217)
    floor (0.566806793212891 × 131072)
    floor (74292.5)     		tx = 74292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429439544677734 × 217)
    floor (0.429439544677734 × 131072)
    floor (56287.5)     		ty = 56287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74292 / 56287 ti = "17/74292/56287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74292/56287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74292 ÷ 217
    74292 ÷ 131072     		x = 0.566802978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56287 ÷ 217
    56287 ÷ 131072     		y = 0.429435729980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566802978515625 × 2 - 1) × π
    0.13360595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41973549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429435729980469 × 2 - 1) × π
    0.141128540039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.443368384585899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41973549} λ = 0.41973549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.443368384585899))-π/2
    2×atan(1.55794615199056)-π/2
    2×1.0001571427825-π/2
    2.000314285565-1.57079632675     		φ = 0.42951796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41973549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.049072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42951796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.609566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74292 KachelY 56287 0.41973549 0.42951796 24.049072 24.609566
    Oben rechts KachelX + 1 74293 KachelY 56287 0.41978343 0.42951796 24.051819 24.609566
    Unten links KachelX 74292 KachelY + 1 56288 0.41973549 0.42947438 24.049072 24.607069
    Unten rechts KachelX + 1 74293 KachelY + 1 56288 0.41978343 0.42947438 24.051819 24.607069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42951796-0.42947438) × R
    4.35799999999875e-05 × 6371000     		dl = 277.648179999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42951796-0.42947438) × R
    4.35799999999875e-05 × 6371000     		dr = 277.648179999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41973549-0.41978343) × cos(0.42951796) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.909166592463903 × 6371000     		do = 277.682879286705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41973549-0.41978343) × cos(0.42947438) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.909184739733086 × 6371000     		du = 277.688421929825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42951796)-sin(0.42947438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909166592463903-0.909184739733086)×R²
    abs(0.41978343-0.41973549)×1.81472691830331e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.81472691830331e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.81472691830331e-05×40589641000000     		ar = 77098.9155156208m²